Системы и совокупности уравнений
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными и где – некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана система уравнений: (3.15) Решить систему (3.15) – значит найти все пары чисел которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует. Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными. Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует. Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений. Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей: 1) менять порядок следования уравнений; 2) умножать на число любое уравнение; 3) умножать на число одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению. Несколько уравнений образуют совокупность уравнений если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входят в область определения остальных уравнений. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид: (3.16) где Геометрически каждому уравнению системы (3.16) соответствует прямая линия на плоскости: и Справедливы утверждения: 1) если то система (3.16) имеет единственное решение (геометрически – прямые пересекаются в определенной точке); 2) если то система (3.16) не имеет решений (прямые параллельны); 3) если то система (3.16) имеет бесконечно много решений (прямые и – совпадают). Основными методами решения систем уравнений (3.15) являются: 1) метод подстановки; 2) метод исключения неизвестной; 3) метод сложения; 4) метод умножения (деления) уравнений; 5) метод замены переменных; 6) графический метод.
Пример 1.Решить систему Решение. Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на и прибавим ко второму: откуда следует Получаем т. е. Следовательно, Заданная система сводится к решению совокупности систем: Ее решением являются пары чисел:
Пример 2.Решить систему Решение. ОДЗ: Заменим в первом уравнении системы тогда Получим дробно-рациональное уравнение: Решаем его
Возвращаемся к переменным х, у: – подходит по ОДЗ. Получили ответ
Пример 3.Решить систему Решение. Данная система относится к симметрическим системам (неизвестные входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных (3.17) Далее используем метод сложения: т. е. Получаем корни этого квадратного уравнения: С учетом системы (3.17) имеем: Возвращаясь к переменным х, у, получаем: Решим записанные системы отдельно: 1) (3.18) Возвращаясь к системе (3.18), получаем: т. е. имеем два решения и 2) (3.19) Поскольку для последнего квадратного уравнения система (3.19) не имеет решения. Получили ответ Пример 4.Решить систему графически: 1) (3.20) 2) Решение. 1) Исходя из геометрического смысла, – уравнение окружности с центром и радиусом – прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку Построим эти линии (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Графики имеют две точки пересечения, т. е. система имеет два решения, которые найдем из системы (3.20): Получили ответ 2) Уравнение может быть записано в виде и является уравнением гиперболы . Уравнение может быть записано в виде – это биссектриса II и IV координатных углов. Выполним построение (рис. 3.3).
Рис. 3.3 Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет.
Пример 5.Решить систему Решение. Система содержит однородное уравнение. Так как получим: Из второго уравнения найдем х:
Получаем совокупность двух систем: Приходим к ответу и
Задания
I уровень 1.1.Решите систему: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
1.2. Решите систему графически: 1) 2) 3) 4)
II уровень 2.1. Решите систему: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
2.2. Определите, при каких значениях а система имеет единственное решение: 1) 2) III уровень 3.1. Решите систему: 1) 2)
3.2. Определите, при каких значениях а система 1) имеет хотя бы одно решение; 2) не имеет решений. Определите геометрический смысл результата исследования.
3.3. Определите, при каких значениях а система имеет хотя бы одно решение. Решите систему.
3.4. Найдите значения a и b, при которых корни уравнения удовлетворяют условиям:
3.5.Решите систему
3.6. Решите систему графически
3.7. Определите, при каких значениях а система имеет единственное решение.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (857)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |