Чему учат апории Зенона

Давно уже стали общим местом утверждения о том, что трудности, известные под названием апорий Зенона, не только не разрешены окончательно, но что они вынуждают все снова и снова к ним возвращаться на все более высоком уровне развития математики и логики (см. 97, 234). Аристотель и П. Бейль, Бергсон, В. Брошар, С. А. Богомолов, О. Беккер и Е. Велльман, Б. ван дер Ваерден и Гегель, А. Грюнбаум и Е. Дюринг, Льюис Кэррол и А. Койре, Ренувье и Б. Рассел, Шираиши, Эвеллин и Яновская... весь алфавит. Такое внимание не удивительно: апории касаются самых глубоких теоретических проблем человеческого познания — самих оснований диалектики, логики и теории познания, математического и физического знания. Причем противоречива сама зеноновская постановка вопроса. С одной стороны, относясь к понятиям пространства и времени, числа (множества) и движения, апории, естественно, касаются коренящихся в этих понятиях проблем физики. С другой же стороны, Зенон принципиально избегает «физических» — как с точки зрения античности, так и в нашем смысле—интерпретаций, сводя все дело к логическому анализу.

Иными словами, поставив перед собой задачу защиты учения Парменида, Зенон исследует логическую структуру «мира мнения», в котором число и движение — число пифагорейцев и движение Гераклита — разыгрывают

свою драму, и выводит следствия из этих понятий. Поскольку следствия оказываются противоречивыми, посылки сводятся к абсурду и отбрасываются. Обнаружение противоречия в строго логически выведенных следствиях основных понятий, которыми оперируют античная наука и обыденное сознание, рассматривается как достаточное основание для их устранения из сферы подлинного знания, с «пути истины». Таков, коротко говоря, смысл «негативной диалектики» Зенона.

Можно сказать, что основная идея «негативной диалектики» связана с использованием основных законов формальной логики: тождества, противоречия и исключенного третьего. Конечно, можно спорить, кому принадлежит их формулировка. Думается, что Парменид сознательно пользуется законами тождества и противоречия, тогда как Зенон также и законом исключенного третьего21. Но апории совершенно очевидно исходят из той мысли, что если даны одновременно А и не-А и если не-А противоречиво, то оно ложно, тогда как А истинно. Третьего же не дано. Такова структура зеноновских апорий, или апихерем (сокращенных доказательств), против множества и против движения. Наиболее известны из них пять апорий, направленных против движения. Однако они тесно связаны с двумя сохранившимися апориями, направленными на опровержение идеи множественности (множества), которых он сформулировал, согласно доксографии, всего сорок. С ними тесно связаны два менее значительных доказательства: против пространства и против истинности чувственного восприятия, которые можно рассматривать как конкретизацию или даже иллюстрацию апорий против множества.

Серьезность аргументации Зенона убедительно подтверждается историей ее интерпретаций и опровержений, среди которых есть смысл выделить несколько основных. Это (1) математические, смысл которых состоит в создании исчисления, которое позволяет доказать ошибочность заключений Зенона; (2) формально-логические (семантические), сводящиеся к доказательству того, что противоречие возникает у Зенона в результате употребления одних и тех же понятий в разных значениях;

21 См. 92, 181—183. Конечно, здесь есть основания говорить лишь об «онтологической» формулировке логические законов у Парменида: закона тождества в виде «бытие- есть» и противоречия — «небытия нет» (см. 151а, 18).

(3) физические, состоящие в привлечении для объяснения апорий принципов механики, а в последнее время и более сложных областей физики, вплоть до теории относительности; (4) философско-интуитивистская, исходящая из невозможности определения исходного понятия — движения22, и (5) диалектико-логическая. Последняя состоит в утверждении; что Зенон действительно открыл объективную противоречивость движения, пространства и времени: «Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие...» (3,29, 231).

Естественно, в этой работе наше внимание должно непосредственно привлечь диалектическое решение Зеноновой проблемы. Подойти же к нему мы можем, только решив следующие вопросы: действительно ли Зенон открыл реальные противоречия движения и множества и в чем их суть? Правилен ли вывод, сделанный им из обнаружения противоречий в этих понятиях? Как они на деле разрешаются? Ответить на них нельзя, не воспроизведя сначала апорий Зенона23.

I. Апории против движения

а) общее затруднение: «Движущееся не движется ни в том месте, где оно есть, ни в том, где его нет» (ДК 29 В 4).

б) Дихотомия (у Кирка и Рейвна — «Стадион») :

«Перемещающееся тело должно дойти до половины, прежде чем до конца» (Арист. Физ. VI 9, 239b). Обращая тот же аргумент на половину дистанции, затем на половину половины и т. д., Зенон должен был прийти к тому, что движение не может начаться, ибо нельзя достигнуть никакого пункта вне начального, и не может закончиться: в обоих случаях надо преодолеть бесконечное число промежуточных мест, что невозможно сделать за конечное время.

в) Ахиллес и черепаха: «Существо более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество» (там же). Итак,

22 См. обзор точек зрения у А. О. Маковельского (М, вып.I,50—73) и в книге Д. Ли (127).

21 Мы воспроизводим их, опираясь главным образом на А. О. Маковельского и Кирка и Рейвна (125, гл. XI).

быстроногий Ахиллес не нагонит медленной черепахи. Принцип дихотомии применен здесь к двум телам, движущимся в одном направлении с разной скоростью.

г) Летящая стрела: В каждый момент своего движения летящая стрела занимает равное себе место; следовательно, она покоится (см. там же). Апория практически совпадает с (а), отличаясь лишь тем, что в изложении Аристотеля в нее вводятся критические соображения, проистекающие из допущения, что Зенон считал, будто время слагается из отдельных «теперь».

д) Стадион (у Кирка и Рейвна—«Движущиеся ряды») : Если два равных по величине тела движутся навстречу друг другу и относительно третьего, покоящегося, то одно из них затратит на прохождение мимо другого столько же времени, сколько на прохождение мимо половины покоящегося. В результате половина будет равна целому. Очевидно, что аргумент будет основателен только в том случае, если допустить, что Зенон имеет в виду человека, утверждающего неделимость пространственных и временных единиц. Только тогда за то время, которое нужно В (а соответственно и Г) для того, чтобы пройти мимо двух неделимых частей А, т. е. за две неделимых единицы времени, Г должно пройти мимо четырех неделимых частей В, затратив соответственно четыре неделимых единицы времени. Следовательно, 2=4, что нелепо (см. 125, 296—297; 127, 83—102).

II.Апории против множества

а) По величине: «Итак, если есть множество, то вещи необходимо должны быть и малы и велики: так малы, что вообще не имеют величины, и так велики, что бесконечны» (ДК 29 В 1). Доказательство этого утверждения не совсем ясно. Оно состоит в том, что то, что существует, должно иметь некоторую величину, толщину и объем. Тогда, будучи к чему-либо прибавлено, оно увеличивает его, а будучи отнято — уменьшает. Но для того чтобы отличаться от другой вещи, существующее должно находиться от нее на некотором расстоянии; следовательно, перед нею должна лежать еще одна вещь и так до бесконечности. Таким образом, сущее, или бытие, должно быть бесконечно велико, представляя собой сумму бесконечного множества вещей. С другой стороны,

если существующая вещь не имеет величины, то, будучи прибавлена к чему-либо, она его не увеличивает, а будучи отнята — не уменьшает. Поскольку же она и прибавляется к существующей вещи, не имеющей величины, сущее, или бытие, не имеет величины.

Таким образом, Зенон как будто бы доказывает здесь апорию относительно бытия: если бытие множественно, то оно должно быть и ничем, и бесконечным по величине. Поэтому А. О. Маковельский дает перевод: «...если сущее множественно, то оно должно быть и малым и большим...» Однако в подлиннике употреблено множественное число: «...mikra te einai kai megala». Кирк и Рейвн выходят из положения, заменив вслед за Ли «множество» (polla) на «множество единиц» (plethos henadon). В таком случае оказывается, что, поскольку каждая вещь составлена из некоторого множества единиц, постольку она одновременно и велика и мала. «Главные оппоненты Зенона—пифагорейцы не только утверждали, что все во вселенной—солнце и луна, человек и конь, справедливость и удобный случай — является суммой пространственно протяженных единиц. Они также втихомолку смешивали эти пространственно протяженные единицы с геометрическими точками» (125, 290). Кирк и Рейвн имеют в виду известный нам по доксографии Эврита и «анонимных пифагорейцев» предположительно весьма древний способ изображения тел и даже отвлеченных понятий с помощью камешков, употреблявшихся для счета (см. М 33 А 2, А 3; М 45 В 4).

В таком случае аргументация Зенона становится ясной: тезис пифагорейцев «вещь есть число» выступает в двоякой форме. Или вещь состоит из непротяженных единиц, и тогда она ничто, так как присоединение непротяженной единицы к непротяженной же ничуть ее не увеличит. Или же вещь состоит из протяженных единиц, и тогда она, по вышесказанному, бесконечно велика, представляя собой сумму бесконечного числа величин, которая всегда бесконечно велика.

Кирк и Рейвн, несомненно, правы. Однако их соотнесение критики Зенона только с пифагорейцами заметно ее сужает. Видимо, следует предположить, что аргументация Зенона имеет гораздо более широкий круг противников, и в частности современника его—Анаксагора. Он утверждал, что «и у малого ведь нет наименьшего,

но всегда еще меньшее... Но и у большего всегда есть большее. И оно равно малому по количеству. Сама же по себе каждая [вещь] и велика и мала» (В 3, пер. И. Д. Рожанского). С. Я. Лурье, обративший внимание на этот факт, как и на то, что возражения Симплиция Анаксагору по существу совпадают с апорией Зенона, отмечал, что взгляд, согласно которому величины делимы до бесконечности, а точка нематериальна и непротяженна, был достоянием всей математики того времени. «Более того, и после уничтожающей критики Зенона и Демокрита эти взгляды фактически остались господствующими среди математиков» (65, 35).

Правда, можно возразить Лурье, что после этой критики математики и философы уже не смешивали непротяженных геометрических точек с протяженными пространственными единицами. Но из сказанного вытекает, что Зенону должно было принадлежать сформулированное в какой-то форме доказательство против бесконечной делимости тел, построенное по принципу дихотомии. Оно должно было бы звучать примерно так: предположим, что тело разделено пополам, получившиеся части— снова пополам и так далее до бесконечности. Если в результате деления получится ничто, то и сама вещь, как сумма непротяженных величин, т. е. ничто, равна ничему — не существует. Если же в результате деления получится бесконечное число протяженных величин, то вещь по величине бесконечна. Намек на это доказательство мы встречаем у Симплиция в его комментарии к «Физике» Аристотеля (см. М 13 А 22). Видимо, Симплиций ошибочно предположил, что Зенон использует дихотомию для выведения неделимых величин.

Как бы то ни было, формулировка первой апории против множества несомненна: если бытие множественно, если есть много вещей, то они должны быть одновременно малы и велики: равны нулю и бесконечно велики, что -невозможно.

б) Вторая апория относится к количеству вещей. Если их много, то их столько, сколько их есть, т. е. конечное число. Но если их много, то между отдельными вещами находятся другие, между ними—третьи и т. д. до бесконечности (см. М 19 В 3). Поскольку же оказывается, что их должно быть и конечное число, и бесконечное, постольку остается допустить, что множества вообще нет.

III. Апория против пространства

Все существующее находится где-нибудь, т. е. в пространстве. Но тогда пространство также должно где-нибудь, т. е. в другом пространстве, находиться и так далее до бесконечности. Следовательно, необходимо или признать бесконечное множество пространств, заключенных друг в друге, или отрицать существование пространства вообще (см. М, вып. II, 56).

Видимо, этот аргумент имеет в виду двойную цель: отвергнуть представление пифагорейцев о пустоте— апейроне, который объемлет мир и вдыхается им, а заодно и исходное представление Анаксимандра и Анаксимена. Вместе с тем аргумент имплицитно отвергает множественность вещей в мире.

IV. Апория против чувственного восприятия—«Пшенное зерно». Если при падении одно пшенное зерно или одна десятитысячная часть зерна не производят шума, то как может произвести шум падение медимна пшенного зерна? Раз производит шум падение медимна зерна, то и падение одной десятитысячной зерна должно производить шум, чего на самом деле нет. Основываясь на незнании понятия о пороге ощущения, этот аргумент в то же время связан с первой апорией против множества: получается, что из суммы нулевых ощущений возникает ощущение, не равное нулю.

Подведем итог изложению апорий Зенона. Все они взаимосвязаны через отношение к общей проблеме непрерывности и дискретности пространства, времени, движения, чувственного восприятия. Все они вытекают, следовательно, из объективной противоречивости этих основных реальностей. Именно поэтому нельзя считать преодоленными те трудности, которые сформулировал Зенон: на каждом новом уровне развития знания они выступают перед нами в новой форме, побуждая двигаться дальше. Однако это уже не собственно Зеноновы затруднения, а именно проблемы современной науки. Что же касается Зеноновых апорий как таковых, то в принципе они разрешимы и разрешались в историческом процессе развития науки и философии.

Возьмем общую апорию против движения и «Летящую стрелу». В обоих случаях очевидно, что противоречие рождается, из того, что Зенон сводит движение к некоторым пространственным отношениям. В общей апории: движущееся тело не движется ни там, где оно находится, ни там, где его нет. В «Летящей стреле»: дви-

жущееся тело в каждый момент своего движения находится в определенном месте и не находится в нем. Отвлекаясь от усложняющих вопрос проблем «места» и «момента времени», рассматриваемых с точки зрения осуществимости этих абстракций, — Зенон о них еще не думал,—мы можем сказать, что противоречие возникает необходимо: в той системе понятий, где используются только пространственно-временные определения, движение, несомненно, не может быть выражено без противоречия. Это очевидное следствие редукции. Но поставим вопрос по-иному: каким образом перейти от этой системы понятий к такой, в которую будет включено понятие движения? Иными словами, как перейти от фиксируемых в разное время пространственных расположений тела к понятию движения его, «как выразить движение в логике понятий» (В. И. Ленин). Иначе говоря, речь должна идти не об анализе понятия движения с целью обнаружить его противоречивость, но о том, как понятие движения возникает посредством синтеза противоположностей, разрешения противоречия. И тогда получается следующая картина.

Общее выражение противоречия движения зафиксируем в следующей форме: движущееся тело «находится в одном и том же месте и не находится в нем» (см.1,20, 123). Итак,

Возможны четыре сочетания значений истинности высказывании, входящих в эту «конъюнкцию»: (2) первое из них («тело А находится в месте В») ложно; (3) первое из них ложно, а второе истинно; (4) оба они истинны; (5) оба они ложны. Тогда (2), очевидно, будет означать, что тело А находится в месте В, т. е. покоится; (3) что тело А не находится в месте В и его ситуация неопределенна; (5) вообще не определено относительно местонахождения тела А. Лишь (4) составит проблему;

Эта «конъюнкция» не имеет смысла с точки зрения формальной логики: здесь налицо противоречие. Однако эмпирически мы можем признать ее осмысленной, если тело А движется. В самом деле, движение может происходить лишь в пространстве, и, поскольку речь идет о механическом движении, перемещении, мы вправе фиксировать положение тела на траектории движения в соответствующий момент времени и констатировать это положение в первом высказывании. Исходя из постулированной истинности второго высказывания, отрицающего первое, мы оказываемся перед необходимостью выработки нового понятия и констатации каких-то новых характеристик, выражающих данную ситуацию. Это новое понятие—движение, а новые характеристики—динамические характеристики, отрицающие статические («нахождение» в данном месте). В результате получается «обращенная» апория Зенона: «Если тело А находится в месте В и не находится в нем, то оно движется».

С этой точки зрения получают разрешение все принципиальные проблемы, связанные с диалектическим противоречием. Оно ни в коем случае не совпадает с противоречием формально-логическим, поскольку «конъюнкция» противоречащих утверждений осуществляется в условиях неустановившегося, не определенного в отношении своего реального содержания движения мысли. Закон, противоречия формальной логики здесь просто неприменим. Следовательно, это не формальное, но содержательное заключение, требующее в каждом случае специального анализа, лишь самые общие типы которого поддаются систематизации. Логическая возможность «заключения» от противоречия к новому понятию гарантируется утверждением формальной логики о том, что противоречие имплицирует все, и речь идет об ограничении этого «всего» смысловыми связями и положительным значением истинности «вывода». Наконец, значение «конъюгируемых» противоречащих высказываний определяется не тем, что в них непосредственно высказано, а только результатом «вывода», итоговым синтезом противоположностей. Так, в нашем случае вопреки обычно высказываемым мнениям дело не в том, что в утверждении «Тело А находится в месте В» слово «находится» употребляется в ином смысле, чем в утверждении «Тело А не находится (= проходит) в месте В». На деле если мы исследуем значение слова «находится» в свете того,

что «Тело А движется», утверждение и отрицание получают смысл тождества, только в первом случае явно выражено пространственное расположение тела и неявно—его динамические характеристики, тогда как во втором явно выражены динамические характеристики и неявно—пространственное расположение (см. 15, 150— 151).

После того как эти соображения были нами опубликованы, совершенно от дих независимо на конкретном материале истории науки В. С. Библер показал, что «развитие механики (от Архимеда до наших дней) опирается на какое-то разрешение тех реальных логических трудностей, которые впервые были сформулированы Зеноном Элейским или, скажем точнее... Зеноном и Аристотелем... На каждом этапе развития механики как науки эти апории переформулировались, углублялись, обострялись» (11, 119, 120), но они и разрешались, открывая возможность для решения какого-то все более широкого круга задач.

Аналогичное положение сложилось и с апориями против множества (а также против движения), опирающимися на трудности, связанные с понятием бесконечного множества. Их источник—две аксиомы, принятые античной математикой. Первая из них говорит о том, что сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и самых малых, протяженных величин обязательно должна быть бесконечно велика; вторая—что сумма любого, хотя бы и бесконечно большого, числа непротяженных величин всегда равна нулю. Именно из них исходит Зе-нон в своей критике (см. 65, 31—32). Философски говоря, это как раз и есть допущение «бытия и небытия», о котором говорит Парменид как о «пути мнения». И строго говоря, Зенонов анализ приводит к обнаружению в исследуемых взглядах именно этого «пути мнения» и связанного с ним противоречия бытия и небытия: все множественное и движущееся есть и не есть; есть бесконечно большое и в то же время ничто; движется и в то же время покоится.

Критика Зеноном современных ему математических представлений означала первый кризис оснований математики в истории этой науки. Его преодоление было осуществлено в результате создания атомистической концепции математики. «Тот, кто хотел спасти математику. от нападений Зенона, должен был отрицать как беско-

нечную делимость, так и существование непротяженных частиц» (65, 51). Причем это должен был быть одновременно и физический атомизм, и математический, объясняющий эту неделимость логически — отсутствием частей. Ибо один лишь физический атомизм еще не позволяет снять возражения Зенона: сколь бы ни был мал физический атом, он обладает величиной и на нем можно провести линии деления и тем самым мысленно его разделить со всеми вытекающими отсюда последствиями, Отсутствие же частей этого уже не позволяет.

Не будем воспроизводить атомистическую концепцию математики: это и не относится непосредственным образом к нашей теме и подробно освещено С. Я. Лурье в его работе о бесконечно малом у атомистов (65). Скажем только, что атомизм по существу не есть еще действительное разрешение апорий Зенона. Отрицая бесконечную делимость, он просто ликвидирует, как ложное, ее утверждение, снимая тем самым одну из сторон противоречия. Уже в античной математике на это обратили внимание, и «официальная» (Лурье) математика античности встала на точку зрения континуума. Ее представители утверждали, что атомизм ниспровергает основные положения математики, и прежде всего геометрии. Однако именно с точки зрения борьбы финитистских (атомистических) и инфинитистских (континуальных) представлений становится ясным, что действительное разрешение математических апорий возможно в исчислении бесконечно малых и далее, когда обнаруживаются свойственные ему противоречия, в теории множеств.

Анализируя апории Зенона, С. А. Богомолов отмечал, что они «целиком объясняются свойствами бесконечных совокупностей (множеств.—А. Б.), присущими исключительно им в отличие от совокупностей конечных» (19, 58). Однако он опирается на теорию множеств Кантора. Современные конструктивные направления в математике, отвергающие последнюю, создают свои способы разрешения апорий. Иначе говоря, раскрытие Зеноном противоречия дискретности и непрерывности как аспектов бесконечности послужило по существу основой для интенсивного прогресса в обосновании математики, механики и философии. Нельзя, конечно, недооценивать негативное значение аргументов «элейского Паламеда» (так Платон прозвал Зенона (Федр 261 d) как человека, подготовившего софистику), а также псижологиче-

Ское их воздействие на слушателей, но колоссальное их значение для развития логики, мощный импульс, продвинувший развитие математики, механики и философии, явно перевешивают24.

Однако пока что остается неучтенным один из результатов Зеноновых апорий. Негативная диалектика Зенона, обнаружившая противоречия в основных понятиях математического, физического и философского мышления и потому эти понятия отвергшая, в то же время подводит к мысли о возможности и необходимости положительной диалектики. Анализ понятия единого Платоном обнаружит диалектическую противоречивость единого, необходимую связь его с понятием множества, как и с совокупностью философских категорий, позволяющих полнее и глубже раскрыть понятие бытия. Но и в ретроспективе она требует и позволяет выявить диалектическую структуру учения Гераклита. Мы можем построить его «аксиоматику» в качестве отражения Парменидовой «истины»:

(1а) Бытие и небытие—одно и то же и не одно и то же.

(2а) То, что есть, существует и не существует. (За) То, чего нет, не существует и существует. (4а) Изменение существует: оно есть уничтожение того, что существует, и возникновение того, что не существует.

(5а) Единое и многое — одно и то же и не одно и то же.

(6а) Единое разделяется, многое соединяется. На первый взгляд эта «аксиоматика» представляется сплошным парадоксом и не имеет какой-либо ценности для понимания полемики вокруг проблем диалектики. Однако, во-первых, структура Гераклитовой диалектики—с поправками, необходимыми после Парменидовой и Зеноновой критики, — выступает здесь совершенно отчетливо. И прежде всего тут развернуто выражены два тезиса: тождество и различие бытия и небытия, единого и многого и разрешение противоречий бытия и небытия,

24 Нельзя поэтому согласиться с негативистскими оценками диалектики Зенона, выдвинутыми Г. Кантором (см. 19, 3—4) и С. Я. Лурье (65, 32, 36—37). В последнее, время аналогичную позицию занял Дж. Оуэн (см. 147, 2, 143). Да, диалектика Зенона выражает кризис античной науки. Но всякая революция есть в то же время и кризис старого.

единого и многого в понятии изменения, перехода от одного к другому. Во-вторых, диалектика четко противопоставлена здесь метафизическому единству Парменидова бытия и дуализму бытия и ничто и—что еще более важно—софистическому отождествлению бытия и ничто. Наконец, в-третьих, вся философия V в. до н. э. бьется именно вокруг проблем, сформулированных в пунктах (4а) и (6а), представляющих решение Гераклитовых апорий. Этому и будет посвящена следующая глава.

Глава IV