Теоретические сведения. 8.2.1. Истечение жидкости через малое круглое отверстие с тонкой стенкой при постоянном

8.2.1. Истечение жидкости через малое круглое отверстие
с тонкой стенкой при постоянном напоре

Отверстие считается малым, если его вертикальный размер не превышает 0,1 глубины погружения отверстия под уровень сосуда, из которого происходит истечение жидкости. Стенка считается тонкой, если вытекающая струя соприкасается лишь с внутренней кромкой стенки и не касается боковой поверхности отверстия.

Если в боковой стенке сосуда с жидкостью на глубине H под уровнем имеется круглое отверстие диаметром d и площадью w, то вытекающая струя претерпевает сжатие (рис. 8.1).

Движение струи в сжатом сечении близко к параллельно-струй­но­му. На некотором расстоянии от отверстия, близком к d : 2, вытекающая струя получает сжатие поперечного сечения, характеризуемое уменьшением диаметра и сечения струи до величины , где w_с – площадь сечения струи в сжатом сечении (рис. 8.1).

Отношение площади струи в сжатом сечении к площади отверстия называется коэффициентом сжатия струи

. (8.1)

Значение коэффициента сжатия зависит от характера деформации потока. Если струя имеет равное сжатие по всему периметру, то сжатие называется полным, в противном случае сжатие называется неполным. Сжатие также может быть совершенным и несовершенным. Совершенным сжатием называется такое, при котором ни свободная поверхность, ни близлежащие стенки не влияют на сжатие струи. Это будет в том случае, если размер отверстия в 3 раза меньше расстояния до ближайшей стенки резервуара или свободной поверхности.

Для определения скорости истечения и расхода вытекающей через отверстие жидкости выберем два сечения (рис. 8.1): 1–1 – на уровне свободной поверхности в сосуде и 2–2 – в сжатом сечении струи, где движение вновь становится плавно изменяющимся, и применим к ним уравнение Д. Бернулли для потока, проведя ось сравнения через центр отверстия 0–0,

, (8.2)

где – потеря напора при истечении из отверстия; – коэффициент сопротивления отверстия; p₁ – давление на свободной поверхности;
p₂ – давление среды, в которую вытекает струя; v₁ – скорость движения воды в сечении 1–1.

Обозначим величину через H₀. Эта величина называется напором истечения. Скорость жидкости в поверхностном слое очень мала, поэтому членом можно пренебречь, и тогда .

Окончательно из уравнения Д. Бернулли получим

, (8.3)

откуда скорость истечения

. (8.4)

Величина называется коэффициентом скорости

. (8.5)

Для малого круглого отверстия для воды коэффициент скорости составляет . Для идеальной жидкости . В этом случае формула (8.5) имеет вид . Эта формула называется формулой Торричелли.[8]

Для определения расхода, вытекающего через отверстие, умножим скорость истечения на площадь сжатого сечения:

. (8.6)

Обозначив e j через m, где m – коэффициент расхода, окончательно получим

. (8.7)

Значение коэффициента расхода m зависит от степени сжатия струи. При всестороннем совершенном сжатии , .

Увеличение размеров отверстия и напора, при котором происходит истечение, приводит к уменьшению коэффициента расхода m. Изменение температуры мало влияет на коэффициент расхода для воды.

В зависимости от формы отверстия, через которое происходит истечение, форма поперечного сечения струи имеет самый разнообразный вид (рис. 8.2).

Так, например, поперечное сечение струи, вытекающей через квадратное отверстие, имеет вид креста с четырьмя тонкими ребрами, через круглое – эллиптическую форму. Это явление называется инверсией струи.

Форма вытекающей струи в вертикальной плоскости (см. рис. 8.1) определяется уравнениями:

; , (8.7)

где t – время; v – скорость истечения, определяемая по формуле (8.5).

Исключив t, получим уравнение оси струи , т. е. уравнение параболы.