Для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(x): «х кратно 3» предикат D(x): «х - четное число и х кратно 3», является конъюнкцией, т.е. D(x): P(x) L Q(x)

Основы формальной логики

 

В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии.

Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил ло­гические формы мышления от его содержания.

Логика — это наука о формах и способах мышления. Это учение о спо­собах рассуждений и доказательств.

Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие — это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.
Пример: D>0,x:integer
Высказывание— это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.

По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Ис­тинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.

Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.
Пример:
Истинное высказывание: «Саратов расположен на Волге».
Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».
“если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным”;

Умозаключение— это форма мышления, с помощью которой из одного или не­скольких высказываний-суждений может быть получено новое суждение .
Пример: if x>=0 and x<=5 then y=x^2+1

Понятие предиката

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально — подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект — это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат - это то, что утверждается о субъекте.

Пример:В высказывании «7 - простое число», «7» -субъект, «простое число» - предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х - простое число». При одних значениях х, (например, х = 13, х =17 ) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10 , х = 18 ) эта форма дает ложные высказывания.

Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат P(х), называется областью определения предиката.

Множество всех элементов хÎМ, при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х).

Пример:

N - множество простых чисел.

Предикат Р(х) - «х - простое число» определен на множестве N, а множество истинности для него есть множество всех простых чисел.

Предикат Q(x) - « sin х = 0 » определен на множестве R(множестве действительных чисел), а его множество истинности - значения х Î R, для которых sin х = 0.

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным, если область определения предиката и область истинности совпадают.

Логические операции над предикатами

Алгебра - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.

Логическая переменная— это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Еесимволическое обозначение — латинская буква. Значением логической переменной могут быть только константы «истина» и « ложь» (1 и 0).

Составное высказывание - логическая функция,которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой логическими операциями.

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции — логическое действие.

Существуют три базовые логические операции — конъюнкция, дизъюнкция и отрицание и дополнительные — импликация и эквивалентность.

Предикаты так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь (соответственно 1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) L Q{x) который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях хÎМ, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Иначе говоря, конъюнкция предикатов истинна для значений хÎМ, при которых истинен каждый из предикатов(2 и более).

 

Пример:

Для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(x): «х кратно 3» предикат D(x): «х - четное число и х кратно 3», является конъюнкцией, т.е. D(x): P(x) L Q(x).

Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат D(x):Р(х)VQ(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях хÎ М, при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Иначе говоря, предикат D(x):Р(х)VQ(x) принимает значения «ложь», если это значения принимают и Р(х) и Q(x) одновременно. Если хотя бы один из предикатов Р(х) и Q(x) истинны, значение «истина» принимает и D(x).

Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат, который принимает значение «истина» при всех значениях х ÎМ, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях х Î М, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».