Формула полной вероятности и формулы Байеса

 

Следствием основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теорем умножения – является так называемая формула полной вероятности.

Теорема. Пусть событие может наступить в результате появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Пусть известны вероятности и условные вероятности . Тогда имеет место формула

, (8)

которая называется формулой полной вероятности.

Замечание 1. Так как события образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, то есть

, (11)

причем формула (11) служит контрольной формулой при решении задач.

Замечание 2. События называют ещё гипотезами, так как заранее неизвестно, в результате наступления какого из этих событий наступит событие .

 

Пример. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. Для выхода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях - с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

 

Решение. Пусть событие - самолет выведен из строя. Рассмотрим четыре гипотезы:

- в самолет не попало ни одного снаряда,

.

- в самолет попал один снаряд,

.

- в самолет попало два снаряда,

.

- в самолет попало три снаряда,

.

Контрольная формула:

.

- вероятность выхода самолета из строя при осуществлении гипотезы , .

- вероятность выхода самолета из строя при осуществлении гипотезы , .

- вероятность выхода самолета из строя при осуществлении гипотезы , .

- вероятность выхода самолета из строя при осуществлении гипотезы , .

Применяя формулу полной вероятности, получим:

Допустим теперь, что произведено испытание, и событие уже произошло. Тогда вероятности гипотез изменятся. Определим условные вероятности этих гипотез в связи с тем, что событие наступило, то есть найдем

.

По теореме умножения имеем:

.

Отсюда

 

,

подставив вместо формулу (8), получим:

 

или

 

.

Окончательно для всех гипотез

(12)

Замечание. Формулы (12) называются формулами Байеса и позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как известен результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Пример. В пирамиде установлено 10 винтовок, из которых 4 имеют оптический прицел. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, а из винтовки без оптического прицела - 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: была взята винтовка с оптическим прицелом или без него?

 

Решение. Пусть событие - мишень поражена. Рассмотрим две гипотезы:

- винтовка с оптическим прицелом, .

- винтовка с оптическим прицелом, .

Контрольная формула:

.

- вероятность поражения мишени при осуществлении гипотезы , .

- вероятность поражения мишени при осуществлении гипотезы , .

Переоценим вероятности гипотез после опыта по формулам Байеса:

.

.

Вероятнее, что цель была поражена винтовкой без оптического прицела.