Поразрядный перевод чисел из одной системы счисления в другую

Поразрядный перевод чисел из одной системы счисления в другую возможен, если основания этих систем счисления р и q связаны соотношением р = q^k, где k – целое число.

В этом случае перевод числа А_(р) системы счисления с основанием р в число А_(q) с основанием q производится путем поразрядного перевода цифр числа А_(р) (например, с помощью табл. 2.1) в к-разрядные группы чисел с основанием q. Последовательность этих групп и составляет число в системе счисления q.

Пример. Дано: А₍₈₎ = 205,43. Найти: А₍₂₎

Решение: А₍₈₎= 2 0 5, 4 3

А₍₂₎ = 010 000 101, 100 011

Ответ:А₍₂₎ = 10000101,100011.

Для перевод числа А_(q) системы счисления с основанием q в число с основанием p производится разбиение числа А_(q) на к-разрядные группы и перевод каждой такой группы в соответствующую ей цифру числа А_(p).

Пример.Дано: А₍₂₎ =1011111,10101. Найти: А₍₈₎

Решение: А₍₂₎ = 001 011 111, 101 010

А₍₈₎ = 1 3 7 , 5 2

Ответ: А₍₈₎= 137,52

Дробные десятичные числа переводятся в другую систему счисления по частям: отдельно переводится целая часть числа, отдельно – правильная десятичная дробь. Потом эти две части объединяют и получают число в новой системе счисления.

Перевод целых десятичных чисел в другую систему счисления

Для перевода нужно исходное десятичное число делить на основание новой системы счисления нацело, запомнив остаток. Результат деления вновь следует разделить на основание новой системы счисления, запомнив остаток. Деление повторяют, пока делимое не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления, выраженные цифрами алфавита новой системы счисления, записанные в порядке, обратном порядку их получения, и есть исходное десятичное число в новой системе счисления.

Пример. Дано: А₍₁₀₎ = 75. Найти: А₍₂₎. Решение:

Ответ: А₍₂₎ = 100011.

Пример.Дано: А₍₁₀₎ = 95. Найти: А₍₈₎. Решение:

Ответ: А₍₈₎ = 137.

Пример. Дано: А₍₁₀₎ = 77. Найти: А₍₁₆₎. Решение:

Ответ: А₍₁₆₎ = 4D.

Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления

Правильная десятичная дробь переводится в систему счисления q умножением ее на qи последовательным умножением дробной части получаемого результата на q. Умножение продолжается, пока не будет достигнута заданная точность или дробная часть в результате очередного произведения не станет равной нулю.

Предельная погрешность ∆ представления дроби k знаками в системе счисления с основанием q определяется по формуле:

∆ = q^-(k+1)/2 2.2

Пример.Перевести десятичную дробь 0,36 в двоичную систему счисления. Решение:

0,	Х 2
	Х 2
	Х 2
	Х 2
1	Х 2

Ответ: 0,36₁₀ = 0,01011₂ Предельная погрешность ∆ = 2^-7

Двоичная арифметика

Арифметические действия с числами в любой позиционной системе аналогичны. В частности, для двоичной системы арифметические правила, учитывая объем двоичного алфавита, имеют вид:

- сложение: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10

- вычитание : 0 – 0 = 0; 1 – 0 = 1; 10 – 1 = 1; 100 – 1 = 11; 1000 – 1 = 111 и т. д.

- умножение: 0 * 0 = 0; 1 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 1 = 1.

Примеры:
1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0

+ 1 0 1 0 - 1 0 1 0 х 1 0 1 0 - 1 0 1 0 1 0, 1

1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1- 1 0 1 0

1 1 1 1 1 0 1 0 0