Представление чисел в компьютере

Целые числа без знака

Целые числа без знака обычно занимают в компьютере один, два или четыре байта

Таблица 2.1

Целые числа со знаком

Целые числа со знаком также занимают один, два или четыре байта, при этом самый левый разряд отведен для кода знака числа: «0» - положительное число, «1» - отрицательное число. Поэтому разрядность и диапазон значений этих чисел меньше указанных в табл. 2.1.

Таблица 2.2

В компьютере применяется три формы кодов записи целых чисел со знаком: прямой код, обратный код и дополнительный код.

Положительное число имеет одинаковые прямой, обратный и дополнительный коды – двоичное число и цифра 0 в разряде для знака.

Пример. Запись числа 1100101 в однобайтовом формате:

0

знак числа «+»

Отрицательное число имеет разные прямой, обратный и дополнительный коды.

Прямой код отрицательного числа содержит цифру 1 (знак числа ‘-‘) и абсолютную величину двоичного числа.

Обратный код отрицательного числа содержит цифру 1 и инвертированные (замененные на 1 нули и замененные на 0 единицы) цифры прямого кода.

Дополнительный код - это обратный код с прибавленной единицей в младшем разряде.

Пример.Записать число – 11101 в прямом, обратном и дополнительном кодах однобайтового формата. Прямой код:

Обратный код:

Дополнительный код:

Представление в компьютере чисел в обратном и дополнительном кодах широко применяется, так как позволяет выполнять арифметические действия с числами только при помощи операций сложения и сдвига регистра. Это дает возможность упростить устройство центрального процессора компьютера.

Обычно отрицательные числа при вводе в компьютер автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из компьютера происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Вещественные числа

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде

N = M×q^P, 2.3

где Р – порядок числа,

М – мантисса, содержащая все цифры числа.

Запись числа в виде (2.3) называется представлением числа с плавающей точкой.

Если мантисса числа – правильная дробь (т.е. 0.1 £ М < 1), то число N называется нормализованным.

Пример. Десятичные числа: 312.41 = 0.31241×10³; - 0.0000723917 = 0.723917×10^-4. Двоичные числа: 0.000011 = 0.11× 2^-100; - 101.01 = 0.10101× 2¹¹.

Нормальная форма позволяет при одинаковой разрядности получать существенно больший диапазон представления чисел. Это приводит к уменьшению вероятности переполнения разряд­ной сетки в ячейках хранения числа.

Структура записи нормализованного числа в компьютере в формате с n разрядами имеет следующий вид:

n-1 n-2 3 2 1 0

Знак мантиссы

Смещенный порядок Абсолютная величина мантиссы

Смещенный порядок применяется для однообразного отображения положительных и отрицательных порядков. Например, порядок, принимающий значения в диапазоне – 32 ÷ + 31, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 64.

Сложение и вычитание нормализованных чисел производится путем сложения и вычитания их мантисс. Перед выполнением действия производится выравнивание порядков чисел.

Пример. 1.Сложить числа 0.10111×2^-1 и 0.11011×2¹⁰. Для выравнивания порядков мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

0.00010111 × 2¹⁰

+ 0.11011 × 2¹⁰

0.11101111 × 2¹⁰

2.Выполнить вычитание 0.10101×2¹⁰ – 0.11101×2¹. Для выравнивания порядков мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

0.10101 ×2¹⁰

- 0.011101 ×2¹⁰

0.001101 ×2¹⁰

Результат получен не нормализованный. Поэтому его нормализуют к виду 0.1101×2⁰.

При умножении нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

При делении нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

При выводе из компьютера десятичных чисел для отображении их в нормализованном виде применяются записи вида:

- для чисел одинарной точности: МЕ ±Р

- для чисел двойной точности: МD±Р,

где М – мантисса числа, Р – порядок числа, а латинские буквы E и D означаю, что число имеет одинарную и соответственно двойную точность.

Пример. Число одинарной точности: 0.1234567Е + 16. Число двойной точности: 0.123456789012345D – 65.

Лекция 3