Тема «Вычисление пределов»

 

При изучении этой темы следует обратить внимание на понятие функции и изучить ее свойства. Познакомиться со всеми элементарными функциями (линейными, степенными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими).

Особое внимание уделить пределу функции в точке и на бесконечность и понятию непрерывной функции.

После подробного изучения свойств пределов, I и II замечательных пределов, следует приступить к непосредственному вычислению пределов элементарных функций и их композиций, учитывая, что под знаком предела можно производить тождественные преобразования выражения.

Пример №1. Вычислить предел:

Пример №2. Вычислить предел:

Решение: т.к.

,

то

Следовательно, =

Пример №3.

Вычислить предел: =

 

Тема «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

В основе этой темы лежит понятие производной. Особое внимание следует обратить на геометрическое и механическое истолкование производной. Особую роль при решении задач играет правило вычисления производной сложной функции.

При дифференцировании некоторых функций нередко значительно упрощает вычисление прием, состоящий в том, что перед вычислением производной функцию предварительно логарифмируют.

При решении всех последующих примеров, кроме таблицы производных, используются правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и теорема о производной сложной функции:

a)

б) ;

в) ;

г)

 

Пример№1. Дана функция: y = .

Вычислить производную функции.

Решение:

y´=

=

= .

 

Пример№2. Дана функция:

Вычислить производную функции.

Решение:

 

Пример №3. Дана функция: .

Вычислить производную функции.

Решение:

 

Тема «Исследование функции одной переменной»

Изучение этой темы следует начать с усвоения понятий возрастания и убывания функции, максимума и минимума функции, выпуклости и вогнутости кривой.

Пример:

1) Исследовать функцию у = (х³ + 9х² +15х - 9) и построить график.

Решение:

1) D (x) = (-∞;+∞), т.е. функция непрерывна на всей числовой прямой.

2)Для исследования функции на экстремумы и монотонность необходимо найти производную и приравнять ее к нулю.

Имеем: y´ = (3x²+9*2x + 15 − 0)

у' = 0 => 3х²+18х + 15= 0

х²+6х + 5 = 0

х₁ = -5; х₂ = -1

 

х	(-∞,-5)	-5	(-5;-1)	-1	(-1;+∞)
f´(х)	+	0	−	0	+
f (x)	↗	max	↘	min	↗

 

у_max (-5)= ((-5)³+9*(-5)² +15*(-5) − 9) =4

 

у_min (-1) = ((-1)³ +9*(-1)²+15*(−1)−9) =−4

 

3) Для определения точек перегиба и интервалов вогнутости и выпуклости найдем вторую производную и приравняем ее к нулю.

Имеем: y´´ = (3 * 2 *x + 18+0)

6х + 18 = 0

х + 3 = 0

х = -3

х	(-∞; -3)	-3	(-3;+∞)
f ´(х)	-	0	+
f (x)	∩	точка перегиба	∪

 

у(-3) = ((-3)³ + 9(-3)² + 15(−3) − 9) = 0.

 

Точка (-3,0) - точка перегиба.Используя полученные результаты исследования, построим график функции.

 

Тема «Интегралы»

Прежде чем приступить к интегрированию функций, тщательно изучите таблицу интегралов, свойства определенного интеграла и два простейших метода интегрирования: метод замены переменной и способ подстановки. Успех интегрирования в значительной степени зависит от того, сумеем ли мы подобрать удачную замену переменной, упрощающую данный интеграл.

При использовании метода интегрирования по частям очень важно правильно выбрать множители U и dv. Хотя общих правил разбиения нет, тем не менее, можно руководствоваться некоторыми частными правилами. Например, если подынтегральная функция представляет собой произведение показательной или тригонометрической функции и многочлена, то в качестве множителя U следует выбирать многочлен. Если же подынтегральная функция является произведением логарифмической или обратной тригонометрической функций и многочлена, то в качестве множителя U следует выбрать логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

При интегрировании выражения, содержащего в знаменателе квадратный трехчлен, целесообразно привести этот трехчлен к виду с выделенным полным квадратом.

Пример№1. Найти интеграл: ∫(5 − +2 )dх.

Решение: Воспользуемся таблицей интегралов и основными свойствами первообразной:

∫(5 − +2 )dх = 5∫dх − 3∫ dх+2∫ dх =

= 5х − 3tgх + 2 +с = 5х −3tgх + +с.

 

Пример №2. Найти интеграл: ∫

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем ( = , а > 0), правилами действий со степенями с одинаковыми основаниями (аⁿ a^m = a^n+m, = ), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно.

∫ dх = ∫ dх= ∫ dх − ∫ dх =

= 5∫х dх − ∫х dх = 5 − +с = 3 − +с =

= 3* − +с.

 

Пример №3. Найти интеграл: ∫ .

Решение: Применим подстановку: t =

Тогда dt = .

Имеем: ∫ ( = ∫ dt = ( + c.

 

Пример №4. Найти интеграл:

∫ dх.

Решение: Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла следующим образом:

х² − 4х + 8 = х² + 4 +7 = (х − 2)² + 2².

Тогда после подстановки t= х−2 получаем:

∫ dх = ∫ dх =∫ dt = ∫ dt =

= ∫ dt +∫ dt = (t²+4) + actg +c =

(х − 2 +4) + actg +c =

= (х² − 4х +8) + actg + с.

При этом при вычислении интеграла ∫ dt мы воспользовались заменой переменной z = t² +4.

Тогда dz = 2tdt, откуда

∫ dt = ∫ = ∫ = c = ( +4) +c.

 

Пример №5. Найти интеграл: ∫(2х + 8)*

Решение: Применим формулу интегрирования по частям: ∫udv=uv − ∫vdu.

Положим: u = 2х +8, dv =

Тогда: du = 2dх, v = ∫ =

Следовательно: ∫(2х + 8) −

+

 

Пример №6. Найти интеграл: ∫actg3х*dх.

Решение: Положим u = actg3х, dv = dх, тогда du = , v = х.

Отсюда: ∫actg3хdх = х* actg3х −3∫

Применим в последнем интеграле подстановку t = 1+9 , получим dt=18хdх, следовательно: 3∫ = ∫ = (1+9 )+с.

Отсюда: ∫actg3хdх = х* actg3х − (1+9 )+с.