Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Найти: а) параметр с; б) моду; в) медиану




4 a). Используя свойство (5) плотности распределения, получим: Þ .

Плотность распределения имеет вид:

б) МодаMo СВ Х – это точка максимума функции . Необходимое условие существования экстремума ‑ , но = ¹0, следовательно данное распределение моды Mo не имеет.

в) Медиана Мe определяется из уравнения . Интегрируя и подставляя пределы интегрирования, получим: . Решая квадратное уравнение, находим корни .

Следовательно, . 3

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и обозначается М[X] или mx.Под символом М[X] понимают оператор математического ожидания, примененный к СВ Х. Оператор имеет различные выражения для дискретной и непрерывной СВ Х.

Математическое ожидание дискретной СВ Х есть сумма произведений всех возможных значений СВ на вероятности принятия этих значений.

М[X]= =

Математическое ожидание непрерывной СВ X есть интеграл:

М[Х] =

Свойства математического ожидания

1. М[С]=С

2. М[CX]=CМ[X]

3. М[X1+X2+...+Xn]= M[X1]+ M[X2]+...+ M[Xn]

4. Для независимых случайных величин X1,×X2,×...×,Xn:

М[X1×X2×...×Xn]= M[X1]× M[X2]×...× M[Xn].

ПримерИзделия испытываются на надежность. Вероятность выхода из строя за время испытания для каждого изделия равна р. Испытания заканчиваются после первого же вышедшего из строя изделия. Найти математическое ожидание СВ Х- числа проверенных изделий.



4Если X- случайное число проверенных изделий, то ряд распределения СВ Химеет вид:

xi ... k ...
pi p pq pq2 ... рqk-1 ...

гдеq=1-p. Математическое ожидание Х выражается суммой ряда:

М[Х]=1p+2pq+3pq2+...+kpqk-1 +...= p(1+2q+3q2+...+kqk-1+...

Легко заметить, что ряд, стоящий в скобках представляет собой результат дифференцирования геометрической прогрессии q+q2+q3+...+qk+...= .

Следовательно: М[Х]=р(1+2q+3q2+...+kqk-1+...)= = . 3

Дисперсией СВ Х называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

= D[X]=M[(X-M[X])2]

Дисперсия характеризует рассеяние значений СВ вокруг ее математического ожидания. Символ D[X] означает оператор дисперсии, примененный к СВ Х. Свойства математического ожидания позволяют получить удобную формулу для определения дисперсии:

D[X]=M[X2]-(M[X])2

Дисперсия дискретной СВ Хвычисляют по формуле:

D[X]=

Или

D[X]= ‑ (M[X])2

Дисперсия непрерывной СВ Х вычисляют по формуле:

D[X]=

Или

D[X]= ‑(M[X]) 2

Свойства дисперсии

1. D[C] = 0.

2. D[CX])=C2D[X].

3. D[X1+X2+...+Xn ]= D[X1]+D[X2] +...+D[ Xn]. (Для независимых случайных величин X1,X2,...Xn).

Средним квадратичным отклонением sх СВ Х называют квадратный корень из дисперсии:

 

sх = .

Начальным моментом k-го порядка СВ Х называют математическое ожидание величины

Хk , т.е.

Начальный момент k-го порядка дискретной СВ выражается суммой: ,

непрерывной - интегралом:

Очевидно, что при k=1 .

Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов.

Центральным моментом k-го порядка СВ Х называют математическое ожидание величины :

Для дискретной СВХ центральный момент выражается суммой: ,

для непрерывной - интегралом:

.

Центральный момент первого порядка , центральный момент второго порядка – это дисперсия: .

Центральный момент любого порядка можно выразить через начальные моменты:

; и т.д.

Асимметрией (коэффициентом асимметрии) распределения СВ Х называется величина:

.

Коэффициент асимметрии характеризует “скошенность” графика плотности распределения вероятностей.

Эксцессом СВ Х называется величина

,

она характеризует крутизну кривой распределения.




Читайте также:



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (425)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.011 сек.)