Построение эконометрических моделей и поиск модели, описывающей ценообразование на рынке яхт наилучшим образом

Линейная модель.

Построим линейную модель, включающую все переменные.

 

Модель 1: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

 

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-5,02835e+06	1,07755e+06	-4,6665	<0,00001	***
length		44683,9	3,8972	0,00015	***
beam			1,7813	0,07703	*
draft			2,3343	0,02100	**
displacement	-11498,6		-1,5130	0,13254
max_speed	-1322,43	48204,4	-0,0274	0,97815
cruising_speed	36094,7	53087,2	0,6799	0,49768
power	-184,244	117,736	-1,5649	0,11986
fuel	216,728	46,9857	4,6126	<0,00001	***
water	-246,793	184,203	-1,3398	0,18249
cabin	-168766		-0,7287	0,46738
guest	13858,2		0,1225	0,90268
region	-195736		-1,1731	0,24276

 

Среднее зав. перемен			Ст. откл. зав. перемен
Сумма кв. остатков	1,05e+14		Ст. ошибка модели	866624,0
R-квадрат	0,768623		Испр. R-квадрат	0,748790
F(12, 140)	38,75599		Р-значение (F)	1,50e-38
Лог. правдоподобие	-2302,176		Крит. Акаике	4630,352
Крит. Шварца	4669,747		Крит. Хеннана-Куинна	4646,355

В этой модели переменные length, const и fuel значимы на 1% уровне, draft на 5 % уровне и beam на 10% уровне. Все остальные переменные оказались незначимыми. В целом уравнение значимо на 1% уровне и R2 = 0.76823.

Данные результаты (небольшое количество значимых переменных при значимом уравнении в целом) свидетельствуют о наличии мультиколлинеарности в модели. Проведенный тест на мультиколлинеарность подтверждает мои предположения. Таким образом, сделанные мной выводы о необходимом исключении переменных (guest, cruising_speed) оказались правильными.

Построим линейную модель без переменных guest и cruising_speed.

 

Модель 2: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

 

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-5,14094e+06	1,05869e+06	-4,8560	<0,00001	***
length		44021,4	3,9240	0,00014	***
beam			1,9000	0,05946	*
draft			2,4176	0,01689	**
displacement	-12380,4	7438,33	-1,6644	0,09824	*
max_speed	29808,7	15009,5	1,9860	0,04896	**
power	-180,854	116,982	-1,5460	0,12433
fuel	222,842	45,8429	4,8610	<0,00001	***
water	-261,857	178,225	-1,4692	0,14398
cabin	-147276	89416,9	-1,6471	0,10175
region	-175152		-1,0741	0,28461

 

Среднее зав. перемен			Ст. откл. зав. перемен
Сумма кв. остатков	1,05e+14		Ст. ошибка модели	861919,9
R-квадрат	0,767858		Испр. R-квадрат	0,751510
F(10, 142)	46,96944		Р-значение (F)	4,00e-40
Лог. правдоподобие	-2302,428		Крит. Акаике	4626,857
Крит. Шварца	4660,191		Крит. Хеннана-Куинна	4640,398

 

В данной модели length, fuel, const значимы на 1% уровне, draft, max_speed на 5% уровне, beam, displacement на 10% уровне. Уравнение в целом также значимо на 1% и R2= 0,767858.

Так как следующим шагом будет исключение незначимых переменных из модели, а фиктивная переменная не является значимой, то проинтерпретируем коэффициент при фиктивной переменной region.

Коэффициент при переменной region означает, что цена яхты в Америке на 175152 евро выше, чем цена яхты в Европе.

Таким образом, количество значимых переменных в модели увеличилось, но все равно не все переменные стали значимыми.

Мною принято решение убрать незначимые переменные, при этом оставив такие переменные как power и cabin, так как, на мой взгляд, мощность является неотъемлемой характеристикой любого транспортного средства, а количество кают отображает возможное число гостей хозяина яхты. Построим данную модель.

Модель 3: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

 

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-5,40916e+06	1,05111e+06	-5,1461	<0,00001	***
length		43971,7	3,7491	0,00026	***
beam			2,0736	0,03990	**
draft			2,5966	0,01039	**
displacement	-14319	7300,86	-1,9613	0,05178	*
max_speed		14436,6	2,1272	0,03511	**
power	-202,767	116,92	-1,7342	0,08502	*
fuel	198,118	39,7408	4,9853	<0,00001	***
cabin	-171202		-1,9281	0,05581	*

 

Среднее зав. перемен			Ст. откл. зав. перемен
Сумма кв. остатков	1,08e+14		Ст. ошибка модели	866147,8
R-квадрат	0,762273		Испр. R-квадрат	0,749066
F(8, 144)	57,71717		Р-значение (F)	3,62e-41
Лог. правдоподобие	-2304,247		Крит. Акаике	4626,494
Крит. Шварца	4653,768		Крит. Хеннана-Куинна	4637,573

 

В данной модели length, fuel, const значимы на 1% уровне, draft, beam, max_speed на 5% уровне. Переменные displacement, power и cabin незначимы на 5% уровне значимости, но значимы на 10% уровне. Уравнение в целом значимо на 1% уровне и R2 =0,762273.

 

Для построения данной модели мы пользовались методом наименьших квадратов, но для данного метода одним из необходимых условий является отсутствие гетероскедастичности. Если в модели есть гетероскедастичность, то МНК-оценки коэффициентов становятся неэффективными и стандартные ошибки коэффициентов смещены и несостоятельны => t-статистики вычисляются некорректно.

Для обнаружения гетероскедастичности проведем тест Уайта.

Н0: в модели нет гетероскедастичности.

Тест Вайта (White) на гетероскедастичность

МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: uhat^2

 

Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение

-----------------------------------------------------------------------------

const 2,40754e+013 2,14208e+013 1,124 0,2635

length 2,19300e+011 9,64988e+011 0,2273 0,8207

beam -8,44924e+012 8,12380e+012 -1,040 0,3006

draft -7,86633e+012 5,33894e+012 -1,473 0,1436

displacement 2,48166e+011 2,38617e+011 1,040 0,3007

max_speed -5,59625e+011 4,64055e+011 -1,206 0,2305

power 1,06114e+010 5,11135e+09 2,076 0,0403 **

fuel -4,02562e+09 1,29093e+09 -3,118 0,0023 ***

cabin 4,13366e+012 2,80202e+012 1,475 0,1431

sq_length -7,85703e+010 3,60375e+010 -2,180 0,0314 **

X2_X3 4,25956e+011 2,46097e+011 1,731 0,0863 *

X2_X4 2,89243e+011 3,06779e+011 0,9428 0,3479

X2_X5 2,67882e+010 1,06476e+010 2,516 0,0133 **

X2_X6 -3,81329e+010 1,63833e+010 -2,328 0,0218 **

X2_X7 1,68880e+08 1,64651e+08 1,026 0,3073

X2_X8 -1,19766e+08 4,49588e+07 -2,664 0,0089 ***

X2_X9 1,62140e+011 1,00063e+011 1,620 0,1081

sq_beam 3,03925e+011 6,18554e+011 0,4913 0,6242

X3_X4 8,92396e+011 1,57036e+012 0,5683 0,5710

X3_X5 -1,27627e+011 6,14778e+010 -2,076 0,0403 **

X3_X6 1,69024e+011 1,08645e+011 1,556 0,1227

X3_X7 -1,87251e+09 1,22996e+09 -1,522 0,1308

X3_X8 9,83635e+08 3,04710e+08 3,228 0,0017 ***

X3_X9 -1,84479e+012 7,32947e+011 -2,517 0,0133 **

sq_draft 5,63266e+011 7,46269e+011 0,7548 0,4520

X4_X5 -1,28199e+011 4,13969e+010 -3,097 0,0025 ***

X4_X6 -2,36777e+09 5,88167e+010 -0,04026 0,9680

X4_X7 5,82182e+08 5,56418e+08 1,046 0,2978

X4_X8 4,51766e+08 2,48950e+08 1,815 0,0723 *

X4_X9 -5,88676e+011 5,57806e+011 -1,055 0,2936

sq_displaceme 1,10700e+09 6,05385e+08 1,829 0,0702 *

X5_X6 5,64435e+09 3,19677e+09 1,766 0,0803 *

X5_X7 -7,58590e+07 2,18796e+07 -3,467 0,0008 ***

X5_X8 -1,11236e+07 7,09398e+06 -1,568 0,1198

X5_X9 -3,57120e+09 1,48899e+010 -0,2398 0,8109

sq_max_speed 4,86841e+09 5,21236e+09 0,9340 0,3524

X6_X7 -1,95624e+08 6,67602e+07 -2,930 0,0041 ***

X6_X8 1,57180e+07 2,24268e+07 0,7009 0,4849

X6_X9 2,21308e+010 3,32422e+010 0,6657 0,5070

sq_power 1,34639e+06 358375 3,757 0,0003 ***

X7_X8 -76908,9 112223 -0,6853 0,4946

X7_X9 1,20886e+08 2,66676e+08 0,4533 0,6512

sq_fuel 17609,3 27382,6 0,6431 0,5215

X8_X9 1,49490e+08 8,21010e+07 1,821 0,0714 *

sq_cabin 3,29007e+011 1,45331e+011 2,264 0,0256 **

 

ВНИМАНИЕ: матрица данных близка к сингулярной!

 

Неисправленный R-квадрат = 0,705925

 

Тестовая статистика: TR^2 = 108,006569,

р-значение = P(Хи-квадрат(44) > 108,006569) = 0,000000

 

Так как тестовая статистика больше p-значения, то Н0 отвергается, то есть в модели есть гетероскедастичность.

Проведем коррекцию ошибок в формуле Уайта.

Предположим, что для суммы квадратов остатков верна следующая зависимость:

Оцениваем параметры модели. Получаем ряд .

Используем оценку дисперсии: .

В качестве весов возьмем переменную w1=1/ .

 

Модель 4: ВМНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

Весовая переменная: w1

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-5,27394e+06	1,03276e+06	-5,1066	<0,00001	***
length		43299,1	3,7161	0,00029	***
beam			2,0518	0,04200	**
draft			2,4677	0,01477	**
max_speed	30938,4	14201,7	2,1785	0,03100	**
fuel	199,891	39,5985	5,0480	<0,00001	***
cabin	-163860	87783,3	-1,8666	0,06399	*
power	-201,515	117,014	-1,7222	0,08719	*
displacement	-13377,3	7277,62	-1,8381	0,06810	*

 

Статистика, полученная по взвешенным данным:

Сумма кв. остатков	4,10e+12		Ст. ошибка модели	168696,4
R-квадрат	0,763332		Испр. R-квадрат	0,750184
F(8, 144)	58,05607		Р-значение (F)	2,64e-41
Лог. правдоподобие	-2053,946		Крит. Акаике	4125,892
Крит. Шварца	4153,166		Крит. Хеннана-Куинна	4136,971

 

Статистика, полученная по исходным данным:

Среднее зав. перемен			Ст. откл. зав. перемен
Сумма кв. остатков	1,08e+14		Ст. ошибка модели	866310,2

 

В итоговой линейной модели отсутствует гетероскедастичность, все коэффициенты значимы на 10%, причем коэффициенты при const, length и fuel значимы на 1%, а при beam, draft, max_speed на 5%. В целом данное уравнении множественной регрессии значимо на 1% уровне. R2 = 0.763332 и R2 adj = 0.750184.

Полученная модель отображает линейную зависимость цены яхты от длины, ширины, осадки, водоизмещения судна, максимальной скорости, запаса топлива, числа кабин, а также мощности. В процессе улучшения модели фиктивная переменная region была исключена из модели, но была проинтерпретирована ранее.

Зависимость цены от ее характеристик выглядит следующим образом:

Price = -5,27394e+06 +160906*length + 517151 * beam + 505904*draft + 30938,4*max_speed + 199,891* fuel - 163860 * cabin + -201,515 * power -13377,3 displacement

Проинтерпретируем коэффициенты при переменных в данной модели:

ü При увеличении длины судна на 1 метр, цена яхты увеличится на 160906 евро;

ü При увеличении ширины судна на 1 метр, цена яхты увеличится на 517151 евро;

ü При увеличении осадки судна на 1 метр, цена яхты увеличится на 539224 евро;

ü При увеличении водоизмещения яхты на 1 тонну, цена яхты уменьшится на 13377,3 евро;

ü При увеличении максимальной скорости на 1 узел, цена яхты увеличится на 30938,4 евро;

ü При увеличении запаса топлива на 1 литр, цена яхты увеличится практически на 200 евро;

ü При увеличении количества кают на 1, цена яхты уменьшится на 163860 евро;

ü При увеличении мощности на 1 HP, цена яхты уменьшится на 201 евро.

 

Среди недостатков данной скорректированной модели следует выделить отсутствие наилучших оценок среди линейных несмещенных оценок.