Предел последовательности
Число а называется пределом последовательности (хn), если для любого положительного числа найдётся такой номер (зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполняется неравенство (1) Обозначают: . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся. Геометрическая интерпретация предела: если число а является пределом последовательности (хn), то в произвольную, сколь угодно малую -окрестность точки а, попадают все члены данной последовательности начиная с некоторого номера . Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела. Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой. Свойства бесконечно малых последовательностей: 1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью; 2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой; 3) для того чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство , где – бесконечно малая последовательность. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер , что для всех n, начиная с этого номера , выполняется неравенство . Если последовательность (хn) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут . Последовательность не имеет предела в 2-х случаях: 1) предел не определён; 2) последовательность является бесконечно большой. Если - бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность. Если – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая. Если последовательности , имеют пределы, то справедливы следующие свойства: 1) где ; 2) ; 3) ; 4) где . Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое конечное число слагаемых и множителей. При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределённости вида . Для того чтобы вычислить предел в случае неопределенности, необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела. Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что . Решение. Выбираем произвольное число . Согласно определению, число 3 является пределом последовательности , если сможем указать такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство (1), которое в нашем случае имеет вид . (2) Неравенство (2) равносильно неравенству , т.е. или . Поскольку и , из последнего неравенства получаем ; . В качестве номера члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (2), может быть выбрано натуральное число . Этим мы доказали, что существует номер члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (1) для заданной последовательности. Значит, число 3 – предел этой последовательности.
Пример 2. Вычислить предел последовательности: 1) 2) ; 3) . Решение. 1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, т.к. непосредственно вычисление приводит к неопределенности типа . Разделим далее числитель и знаменатель дроби на старшую степень, т.е. на и получим , так как при последовательности стремятся к нулю. Таким образом, приходим к ответу: . 2. Так как по определению факториала , то получаем Делением на старшую степень выражения, т.е. на , убеждаемся, что 3. Поскольку при имеем и , то выражение даёт неопределённость типа . Умножив и разделив выражение на сопряжённый множитель , получим: Разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на тогда Таким образом, получаем ответ:
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (399)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |