Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности (х_n), если для любого положительного числа найдётся такой номер (зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполняется неравенство

(1)

Обозначают:

.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся. Геометрическая интерпретация предела: если число а является пределом последовательности (х_n), то в произвольную, сколь угодно малую -окрестность точки а, попадают все члены данной последовательности начиная с некоторого номера .

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела.

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью;

2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой;

3) для того чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство , где – бесконечно малая последовательность.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер , что для всех n, начиная с этого номера , выполняется неравенство

.

Если последовательность (х_n) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут .

Последовательность не имеет предела в 2-х случаях:

1) предел не определён;

2) последовательность является бесконечно большой.

Если - бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.

Если – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.

Если последовательности , имеют пределы, то справедливы следующие свойства:

1) где ;

2) ;

3) ;

4) где .

Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое конечное число слагаемых и множителей.

При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределённости вида . Для того чтобы вычислить предел в случае неопределенности, необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.

Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .

Решение. Выбираем произвольное число . Согласно определению, число 3 является пределом последовательности , если сможем указать такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство (1), которое в нашем случае имеет вид

. (2)

Неравенство (2) равносильно неравенству

,

т.е.

или .

Поскольку и , из последнего неравенства получаем

; .

В качестве номера члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (2), может быть выбрано натуральное число

.

Этим мы доказали, что существует номер члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (1) для заданной последовательности. Значит, число 3 – предел этой последовательности.

Пример 2. Вычислить предел последовательности:

1) 2) ;

3) .

Решение. 1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, т.к. непосредственно вычисление приводит к неопределенности типа .

Разделим далее числитель и знаменатель дроби на старшую степень, т.е. на и получим

,

так как при последовательности стремятся к нулю.

Таким образом, приходим к ответу:

.

2. Так как по определению факториала

,

то получаем

Делением на старшую степень выражения, т.е. на , убеждаемся, что

3. Поскольку при имеем и , то выражение даёт неопределённость типа . Умножив и разделив выражение на сопряжённый множитель , получим:

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на тогда

Таким образом, получаем ответ: