Задания для самостоятельного решения. 1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне докажите
I уровень 1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне докажите, что: 1) 2) 3) 4) . 1.2. Найдите предел функции в точке: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) II уровень 2.1. Найдите предел: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 2.2. Определите, является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой при , если 1) 2) 3) .
Ш уровень
3.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне, докажите, что предел не существует: 1) 2) 3) 3.2. Вычислите пределы функций в точке. 1) 2) 3.3. Вычислите пределы при всех возможных значениях и . 1) ; 2) . 3.4. Вычислите
Первый и второй замечательные пределы При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел: (9) Если при , то верна более общая формула первого замечательного предала: (10) Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа . Второй замечательный предел: (11) или (12) Если при , то обобщением формулы (11) является формула: (13) Если , то обобщением формулы (12) является: (14) Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа . Для того чтобы использовать, например, формулу (13), необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять условий (акцентируем их подчёркиванием): 1) 2) 3) 4) 5) , при . Эти условия достигаются тождественным преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.
Пример 1. Вычислить предел функции: 1) 2) 3) 4) Решение.1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела: . Последний предел, согласно формуле (9), равен 1. Так как при выражение также стремится к нулю, то, умножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечательный предел, получим: Следовательно . 2. При непосредственном вычислении предела получаем неопределённость вида Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на и преобразуем его к виду, когда можно использовать первый замечательный предел (формула (10)):
3. Выделим целую часть в основании степени: Так как при исходное выражение представляет собой неопределенность типа , то, используя второй замечательный предел (формула (13)), имеем:
4. В данном случае получаем неопределённость вида . Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел (формула (14)). Получим: Для вычисления применим первый замечательный предел: Таким образом, получаем ответ:
Задания для самостоятельного решения
I уровень 1.1. Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) . 1.2. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) .
II уровень
2.1. Найдите предел функции: 1) 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 2.2. Найдите предел функции: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) .
Ш уровень 3.1. Найдите предел функции, сделав соответствующую замену переменной: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) . 3.2. Вычислите пределы функций с помощью второго замечательного предела: 1) 2) 3) 4)
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (738)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |