Задания для самостоятельного решения. 1.1. Пользуясь определением числовой последовательности
I уровень 1.1. Пользуясь определением числовой последовательности, докажите, что: 1) 2) 3) 4) 1.2. Вычислите предел: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ; 10) . 11) 12) II уровень 2.1. Вычислите предел: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 2.2. Докажите, что последовательность не имеет предела: 1) 2)
III уровень 3.1. Задана последовательность Найдите . Определите, каким должно быть для того, чтобы разность между и ее пределом по абсолютной величине не превзошла ? 3.2. Вычислите предел последовательности: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) ; 8) ; 9) ; 10) .
3.3. Найдите предел последовательности: 1) если 2) , если . 3.4. Вычислите предел числовой последовательности , заданной формулой общего члена при различных значениях параметров . 1) ; 2) .
Предел функции
Рассмотрим функцию , определённую в некоторой окрестности точки (в самой точке данная функция может быть не определена). Число А называется пределом функции в точке (по Гейне),если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к А. Обозначается: или при
Если функция в точке имеет предел, то он единственный. Если функции и имеют пределы в точке , то справедливы формулы: , где С=const; (3) (4) (5) . (6) Если непосредственное вычисление предела по формулам (3) – (6) приводят к неопределённости вида, , то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела. Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство , (7) которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы. Кроме предела функции в точке рассматривают предел функции на бесконечности: число называется пределом функции при (или ), если для всякой последовательности , (или ) при последовательность соответствующих значений функции сходится к числу . Обозначают: . Для предела функции на бесконечности также справедливы формулы (3) – (6). Функция называется бесконечно малой функцией при (или ), если Функция называется бесконечно большой при , если для всякой последовательности , при , ( или ) последовательность соответствующих значений функции является бесконечно большой. Обозначают . (8) Если – бесконечно большая функция при , то она не имеет предела (предел – это число!), запись (8) следует воспринимать лишь как обозначение бесконечно большой функции
Пример1. Пользуясь определением предела функции по Гейне доказать, что Решение. Пусть – произвольная последовательность, которая сходится к 3 , т.е. Тогда Пример 2. Вычислить пределы функций в точке: 1) 2) 3) . Решение. 1. При непосредственном использовании формул (3) – (6) получаем неопределённость вида Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на общий множитель. Получим . 2. Непосредственное вычисление приводит к неопределённости . Для раскрытия приведём выражение в скобках к общему знаменателю: . Далее разлагаем числитель и знаменатель на множители. Получаем . 3. Непосредственное вычисление предела при приводит к неопределённости Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражений и 2, чтобы в числителе получить разность кубов: Поскольку неопределенность типа сохранилась, разложим многочлены на множители и сократим: Переход к пределу при дает . Пример 3. С помощью вычислений определить является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой при . 1) ; 2) Решение. 1. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассмотреть . Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности типа . Вынесем в числителе и знаменателе старшее основание, т.е. за скобки.
Так как показательная функция при является убывающей, то при получим: . Тогда согласно определению функция является бесконечно большой. 2. Вычислим . При выражение в скобках представляет собой разность двух бесконечно больших величин ( ). Умножив и разделив функцию на выражение , получим: . В результате преобразований возникла неопределенность типа , а поэтому разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на . Получим: Следовательно, по определению функция является бесконечно малой.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (367)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |