А) последовательное соединение конденсаторов

Рис. 3, а.

Последовательное соединение конденсаторов

(6)

Б) параллельное соединение конденсаторов

Рис.3, б.

Параллельное соединение конденсаторов

(7)

Для того чтобы зарядить конденсатор до некоторой разности потенциалов между его обкладками, можно на одной из электронейтральных обкладок разделить заряды противоположных знаков и бесконечно малый заряд dq какого – либо знака перенести с одной обкладки на другую. При этом будет произведена работа, равная бесконечно малому изменению энергии конденсатора:

(7)

Подставив сюда значение разности потенциалов (см. определение электроемкости), получим Интегрируя это выражение при постоянной электроемкости, имеем

Используя определение электроемкости конденсатора, можно энергию заряженного конденсатора записать так:

(8)

Рассмотрим процессы заряда и разряда конденсатора. Если заряженный конденсатор замкнуть проводником, то по проводу потечет ток, и конденсатор будет разряжаться.

Пусть U – разность потенциалов между его обкладками, R – сопротивление цепи, через которую происходит разряд. Для мгновенных значений заряда q, силы тока I и напряжения U можно записать:

(9)

Знак «минус» взят потому, что заряд q на конденсаторе со временем убывает.

Полагаем, что мгновенное значение тока одно и то же во всех поперечных сечениях проводника, замыкающего конденсатор. Исключая силу тока I и напряжение U из уравнений (9), имеем

(10)

Интегрируя выражение (10), получаем

(11)

где В – постоянная интегрирования, которая определяется на начальных условий, т. е. при t = 0 заряд конденсатора q₀:

(12)

Тогда имеем

(13)

Из выражения (13) следует, что заряд на конденсаторе при его разряде изменяется по экспоненциальному закону. По такому же закону изменяется и напряжение на конденсаторе (рис. 4, кривая 1):

(14)

где U₀ - напряжение в начальный момент времени. Из выражения (13) следует, если , то

Величина τ имеет размерность времени и называется временем релаксации, т.е. это время за которое заряд конденсатора (напряжение на обкладках) изменится в е раз. Вообще релаксацией называется любой самопроизвольный процесс перехода системы в устойчивое равновесное состояние. В данном случае это процесс разряда конденсатора.

Рис. 4.

Зависимость U = f (t)

Для определения времени релаксации можно измерить время t_1/2, за которое заряд (напряжение) (см. выражения (12), (13)) уменьшается до половины первоначальной величины: . Решая последнее выражение относительно t_1/2, имеем t_1/2 = τ∙ln2 = τ∙0,693.

Закон изменения напряжения на конденсаторе при его заряде (без вывода) выглядит как

(16)

и на рис. 1 представлен кривой 2.