Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Предел функции в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки ,кроме, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , стремящемся к (записывается ), если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число (вообще говоря, зависящее от ), что для всех таких, что , , выполняется неравенство . Предел функции обозначается так: . Предел функции на бесконечности Пусть функция f(x) определена на бесконечном промежутке . Число А называется пределом функции при x стремящемся к бесконечности (записывается ) если для любого числа e > 0 найдется такое число , что для всех значений имеет место неравенство | f(x) – А| < e. Если число А является пределом функции f(x) при , стремящемся к бесконечности, то пишут . Операции над пределами Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки х0 и имеют пределы , . Перечислим без доказательства свойства пределов от суммы (разности), произведения и частного этих функций. 1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (разности) их пределов: 2. Предел произведения функций равен произведению их пределов: . Отсюда, в частности, вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции: 3. Предел частного функций равен частному их пределов (при условии В ¹0): .
Пример 1.1 =
= = 2. Из этого примера следует, что указанный предел может быть найден, если в выражение подставить значение . Пример 1.2 . Аналогично предыдущему примеру, нетрудно убедиться, что , а =11, поэтому . Бесконечный предел Пусть функция определена в некоторой окрестности точки ,кроме быть может, самой точки x0. Говорят, что =¥ (предел функции равен бесконечности), если для любого сколь угодно большого числа найдется такое число (вообще говоря, зависящее от М ), что для всех таких, что , , выполняется неравенство . Бесконечно малые и бесконечно большие величины Бесконечно малая. Функция называется бесконечно малой величиной (или просто бесконечно малой) при (или ), если ( или ) Например, – бесконечно малая при , – бесконечно малая при , функция – бесконечно малая при . Бесконечно малые функции будем обозначать , , , . . . (или просто , , , . . . ). Бесконечно большая. Функция называется бесконечно большой величиной (или просто бесконечно большой) при (или ), если ( или ) Бесконечно большие функции будем обозначать , , , . . . (или просто , , , . . . ). В дальнейшем, вместо слов “бесконечно малая” будем иногда писать БМ, а вместо слов “бесконечно большая” – ББ. Между бесконечно малыми и бесконечно большими существует связь. Если функция – БМ при , то функция – ББ при . И наоборот, если функция является ББ при , то функция – БМ при . Например, – бесконечно большая при , – бесконечно большая при , а функция – бесконечно большая при . Другими словами, деление конечной величины на бесконечно малую в результате дает бесконечно большую. Пример 1.3. Найдем .Не трудно убедиться, что числитель этой дроби стремится к 11, а знаменатель стремится к 0 (см. пример 1.2), поэтому = = . Здесь (и в дальнейшем) запись в квадратных скобках означает, что знаменатель этой дроби не равен 0, а только стремится к этому значению (соответственно и числитель не равен, а только стремится к 11).
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1631)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |