Раскрытие неопределенностей
При определении пределов часто возникают ситуации, называемые неопределенностями. Мы рассмотрим неопределенности следующих видов 1) – неопределенность “ноль делить на ноль”. 2) – неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”.
3) –неопределенность “ноль умножить на бесконечность”. Нахождение пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенностей. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия каждой неопределенности в отдельности. Неопределенность появляется при нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций . Пример 1.4 . Здесь = 4 – 10 + 6 = 0 и = 0. Числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми при , т.е. имеет место неопределенность . Для раскрытия неопределенности в рассматриваемом случае числитель и знаменатель дроби разложим на множители и сократим на величину , дающую 0 в числителе и знаменателе: = = = = = – . Пример 1.5 Найти предел: . Решение Здесь также имеем дело с неопределенностью . Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение , которое называется сопряженным выражению , тогда
= = = = = = = . Для раскрытия неопределенности в некоторых случаях могут быть полезны следующие определения и теоремы. Определение 1.1. Пусть и две БМ при . Если
то БМ и называются эквивалентными. Эквивалентность БМ и обозначается .
Теорема 1.1. (Первый замечательный предел). Можно показать [ ], что
Предел (1.2) называется первым замечательным пределом. Из теоремы 1.1 и определения 1.1 следует, что . Приведем еще некоторые примеры эквивалентных БМ при a® 0: Таблица 1.1
Теорема 1.2.
Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения бесконечно малых, эквивалентных данным. Поясним, что утверждает теорема. Пусть и две бесконечно малые функции. Известны еще две БМ и , причем и . Тогда . Доказательство: = , что и требовалось. доказать. Каждый из пределов в рамках равен единице, т.к. это пределы отношений эквивалентных бесконечно малых. Пример 1.6 Найти .
Решение Здесь имеет место неопределенность , которая раскрывается переходом к эквивалентным величинам: sin5x~5x, sin3x~3x, по теореме 1.2 получаем: = = = .
Неопределенность появляется при нахождении предела отношения двух бесконечно больших .
Пример 1.7 Найти .
Решение Здесь имеет место неопределенность . Отметим, что самая большая степень, в которой переменная входит в числитель и знаменатель дроби. Для раскрытия неопределенности вынесем за скобки и в числителе и в знаменателе и сократим. Получим = = = . Отметим, что в данном примере высшая степень в числителе равна высшей степени в знаменателе. Предел равен отношению коэффициентов при высших степенях в числителе и знаменателе. Пример 1.8 = = = = 0. Отметим, что в данном примере высшая степень в числителе меньше высшей степени в знаменателе. Предел равен нулю. Пример 1.9 = = = = = . В данном примере высшая степень в числителе больше высшей степени в знаменателе. Предел равен бесконечности. В результате рассмотрения примеров 1.7, 1.8 и 1.9 сформулируем общее правило нахождения предела вида = =
Пример 1.10 .
Решение Здесь , , , поэтому предел равен : .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1863)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |