Задачи для самостоятельного решения. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава 2 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Приращение аргумента и приращение функции Пусть дана функция . Зафиксируем некоторое значение . Дадим переменной произвольное приращение . В точке функция будет иметь значение . Разность между новым значением функции и ее старым значением называется приращением функции и обозначается . Таким образом, приращением функции называется величина . Пример Пусть , тогда . Найдем : = .
2.2. Понятие производной. Пусть — произвольная функция переменной х. Зафиксируем некоторое значение аргумента х и вычислим соответствующее значение функции . Придадим аргументу приращение , получим новое значение и вычислим соответствующее приращение функции . Составим отношение
и рассмотрим предел . Этот предел называется производной функции у = f(x) в точке х и обозначается у', у'x , f'(x) или . Таким образом, производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции. Геометрический смысл производной Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке x0. Тогда к графику функции в точке М0(x0, y0) можно провести касательную, уравнение которой имеет вид , В этом уравнении = tga – где a – угол наклона касательной к оси Ох.
Рис.2.1 Таким образом, геометрически производная есть угловой коэффициент касательной к кривой в рассматриваемой точке. Физический смысл производной Пусть точка движется по прямой так, что – путь, пройденный точкой к моменту времени t. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени Dt от момента t до момента t+Dt, равен DS = f(t+Dt)–f(t). В этом случае есть средняя скорость точки за промежуток времени от t до t+Dt. Скоростью точки в данный момент называется предел ее средней скорости за промежуток времени Dt, т.е. Из (1.2) и определения производной (1.1) следует, что , т.е. производная от пути по времени при прямолинейном движении есть скорость. Правила вычисление производных Справедливы следующие формулы, выражающие правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций, а также вычисления производной от постоянной величины . 1) Производная постоянной величины равна нулю:
2) Производная суммы равна сумме производных: . Пример 2.1 . 3) Производная произведения: . Пример 2.2 . 4) Постоянную можно выносить за знак производной: . Это правило является следствием правила 1) и правила 3).
Пример 2.3 .
5). Производная частного:
. Здесь предполагается, что рассматриваемые значения знаменателя не равны нулю. Пример 2.4 = = .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1070)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |