Координат вектора в ортогональном базисе

Дайте определение несовместной системы уравнений. Может ли однородная система

Уравнений быть несовместной? Ответ обоснуйте

Система линейных алгебраических уравнений называется несовместной, если у неё нет ни одного решения. ОСЛАУ (свободные члены всегда нули) всегда совместна, т.к. имеет хотя бы одно решение.

Сформулируйте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите

Пример. Будет ли линейно зависима система векторов, включающая нулевой вектор? Ответ

Обоснуйте.

Система векторов v₁,v₂,v₃,…,v_k называется линейно зависимой, если в нулевой линейной комбинации хотя бы один коэффициент не равен нулю. Пример: a=(1;0;0), b=(0;1;0), c=(-2;3;0).

c=α*a+β*b.

Векторы компланарны, следовательно, система линейно зависима. Система, включающая нулевой вектор, линейно зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов a₁,a₂,a₃,…,a_n,0. Очевидно, существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю-вектору: 0*a₁+0*a₂+0*a_n+1*0=0.

Сформулируйте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что

Лестничная система из трех векторов линейно независима.

Система векторов v₁,v₂,v₃,…,v_k называется линейно независимой, если нулевая линейная комбинация с₁v₁+с₂v₂+…+с _kv_k =0 возможна только при нулевых коэффициентах с₁=с₂,=…=с _k=0.

Теорема: любая лестничная система из трех векторов линейно независима. Док-во: Допустим противное: векторы линейно зависимы, т.е. один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные: a=β*b+γ*c, следовательно,

Значит, допущение неверно, и лестничная система линейно независима.

Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите единственность

Разложения вектора по базису.

Базис линейного пространства – это такая линейно независимая упорядоченная система векторов, что любой вектор пространства разлагается по векторам системы (является линейной комбинацией или линейно выражается). V=α₁v₁+ α ₂v₂+…+ α _kv_k

Единственность разложения вектора по базису. Док-во: допустим противное:V=α₁v₁+α₂v₂+…+α_kv_k.

V=β₁v₁+β ₂v₂+…+β_kv_k. Вычитая второе равенство из первого, получим:0=(α₁-β₁)v1+(α₂- β₂)v₂+…+(α_k-β_k)v_k, откуда следует однозначность координат (т.к.векторы линейно зависимы), следовательно,

α₁-β₁=0, α₂- β₂=0, …, α_k-β_k=0. Следовательно, α₁=β₁, α₂=β₂, …, α_k=β_k.

Сформулируйте и докажите неравенство Коши-Буняковского.

Если v, w – два любых вектора евклидова пространства, то (v*w)²≤(v)²*(w)²

Док-во: Если v=0, следовательно, 0≤0²*w² выполнено. Пусть v≠0. Введем новый вектор ƛ*v+w, где ƛ ϵ R. Тогда (ƛ*v+w)*(ƛ*v+w)≥0 (по свойству скалярного произведения), следовательно, (ƛ^*v)²+2ƛ*v*w+w²≥0, преобразуем выражение, v²* ƛ²+ƛ*(2v*w)+w²≥0 – квадратный трехчлен относительно ƛ неотрицателен. Значит, его Д≤0. Д/4=(v*w)²-v²*w²≤0, следовательно (v*w)²=v²*w².

45. Сформулируйте и докажите неравенство треугольника.

Если v, w – два любых вектора евклидова пространства, то ǀv+wǀ≤ǀvǀ+ǀwǀ.

Док-во: Если v, w – два произвольных вектора евклидова пространства, то ǀv+wǀ²=(v+w)(v+w)=v*v+2v*w+w*w=v²+2v*w+w²≤ǀvǀ²+2ǀv*wǀ+ǀwǀ²≤ǀvǀ²+2ǀvǀ*ǀwǀ+ǀwǀ²=(ǀvǀ+ǀwǀ)², следовательно, ǀv+wǀ≤ǀvǀ+ǀwǀ.

Дайте определение ортогонального базиса. Выведите формулы для вычисления

координат вектора в ортогональном базисе.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Для выведения формул для вычисления координат вектора в ортогональном базисе составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор . В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем:

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т. е. коэффициент α1 определяется по формуле:

Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные векторы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора: Соотношения имеют смысл, при ǀe_iǀ≠0.

47. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц порядка 3 × 3 рангов

1, 2, 3.

Рангом матрицы А (обозначается rk(A)) называется ранг системы векторов, образуемых строками (или столбцами) матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк (столбцов).

Примеры:

48. Дайте определения вырожденной и невырожденной матриц. Приведите примеры таких матриц порядка 3 × 3 .

Вырожденной матрицей называется матрица А, строки которой линейно зависимы.

=0 => вырожденная

Невырожденной матрицей называется матрица А, если строки которой линейно независимы.

=5 => невырожденная