Дайте определение ортогональной матрицы. Докажите, что ортогональная матрица не может быть вырожденной

Квадратная матрица называется ортогональной, если ее строки образуют ортонормированную систему A*A^T = E.

Ортогональная матрица не может быть вырожденной.

Доказательство. Условие ортогональности: A*A^T = E => A^T=А^-1.При вырожденной матрице не существует А^-1, следовательно, ортогональная матрица является невырожденной.

Дайте определение матрицы перехода от одного базиса к другому. Выведите формулу преобразования координат вектора при замене базиса.

Матрицей перехода от старого базиса ν₁,ν₂…ν_n к новому ν₁^’,ν₂^’…ν_n^’ называется матрица коэффициентов разложения новых векторов, записанных по столбцам.

Фиксируем некоторый исходный базис е₁…е_n, в котором даны коэффициенты разложения старого и нового базисов.

ν₁= … ν_n= ; ν₁^’= … ν_n^’=

Теперь от исходного базиса переходим к старому, откуда следует

Дайте определение матрицы перехода от одного базиса к другому. Выведите формулу преобразования матрицы линейного оператора при замене базиса.

Матрицей перехода от старого базиса ν₁,ν₂…ν_n к новому ν₁^’,ν₂^’…ν_n^’ называется матрица коэффициентов разложения новых векторов, записанных по столбцам.

Пусть:

x=x₁е₁+…+x_ne_n

x=x₁’e₁’+…+x_n’e_n’

Между старыми и новыми координатами вектора существует следующая связь: X=TX’, где Т – матрица перехода от исходного базиса к новому, Х – столбец из старых, Х’- столбец из новых координат:

Х= , Х’=

Точно такая же связь имеется и между старыми и новыми координатами вектора y=f(x): Y=TY’.

Учитывая невырожденность матрицы перехода Т, получаем последовательно:

Y’=T^-1Y=T^-1AX=T^-1ATX’

ð A’=T’AT

Дайте определение подобных матриц. Докажите, что характеристические многочлены подобных матриц равны

Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что:

Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Доказательство. Пусть матрица B подобна матрице A, т.е. B = T⁻¹·A·T для некоторой невырожденной матрицы T∈ F_n×n . Имеем λB (x) = |B − xE_n| = |T⁻¹·A·T−T⁻¹·(xE_n)·T| =

=|T⁻¹·(A − xE_n) · T| = |T⁻¹||A − xE_n||T| = |A − xE_n| = λA(x), так как |T⁻¹||T| = 1.

Дайте определение самосопряженного линейного преобразования. Докажите, что собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования, ортогональны.

Линейное преобразование f n-мерного евклидова пространства называется самосопряженным, если оно является сопряженным самому себе (f*), то есть (f( ), ) = ( , f( )) для любых , Rⁿ.

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования, ортогональны.

Доказательство: Пусть f – самосопряженное линейное преобразование, f( ) = λ₁ , ( ≠ 0), f( ) = λ₂

( ≠ 0), λ₁≠λ₂.

Докажем, что ) = 0.

(f( ), ) = ( f( ))

λ₁ ) = λ₂ ), так как λ₁≠λ₂, то ) = 0.