Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей

Вопросы к экзамену по математическому анализу (первый семестр).

1. Числовая последовательность. Операции над последовательностями.

a. Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член последовательности и известно, что , то есть и так далее до нужного члена.

2. Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности (доказательство).

Если у последовательности существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при

). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что

Число называется пределом последовательности и обозначается ,

Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство :

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей

1° Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.

2° Произведение ограниченной последовательности и б.м. есть б.м.п.

3° Если - б.м.п., то - ограниченная последовательность.

4° Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.

5° Если - б.м.п. и , то , т.е.

6° Если - б.м.п. и , то последовательность - б.б.п.

7° Если - б.б.п., то и последовательность - б.м.п.

4. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Основные свойства пределов числовых функций.

Пусть задано некоторое числовое множество и каждому поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция , .