Основные свойства бесконечно малых функций
1° Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м. 2° Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м. 3° Произведение двух б.м функций есть функция б.м. 4° Произведение б.м функции на константу является б.м функцией. 5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м. 6° Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.
Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями: Если функция - функция бесконечно малая ( ), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.
6. Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если Бесконечно малые функции одного порядка Пусть и - две б.м. функции при . Определение Функции и называются б.м. одного порядка малости при , если Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если Обозначают: при . Таблица эквивалентных б.м. функций Таблица эквивалентных б.м. функций при Предельные равенства для эквивалентных б.м. функций Теорема Предел отношения двух б.м. функций и при равен пределу отношения эквивалентных им б.м. функций и при , то есть верны предельные равенства:
7. Основные методы отыскания пределов. Замечательные пределы. Определение Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.
Следствия из первого замечательного предела 1° 2° 3° 4°
здесь е - число Эйлера Следствия из второго замечательного предела 1° 2° 3° 4° 5° 6° 8. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Классификация точек разрыва. Основные понятия и определения Определение Функция называется непрерывной в точке , если: 1 функция определена в точке и ее окрестности; 2 существует конечный предел функции в точке ; 3 это предел равен значению функции в точке , т.е. Приращение аргумента и функции Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале и рассмотрим произвольную точку из этого интервала: . Определение Приращением аргумента в точке называется разность Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что . Приращением функции в точке называется разность соответствующих значений функции или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь: Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции : Полезные теоремы о непрерывности функции Теорема Если функции и непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке . Пусть функция задана на множестве , а - множество значений этой функции. Пусть на множестве задана функция . Тогда говорят, что на множестве задана композиция функций (или сложная функция) . Теорема Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция функций непрерывна в точке . Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области. Функция называется непрерывной справа в точке , если . Функция называется непрерывной слева в точке , если . Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть . Свойства функций непрерывных на отрезке: 1 Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. 2 Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке. 3 Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и . 4 Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (749)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |