Раздел 5. Числовые и функциональные ряды

I. Задания для самостоятельной работы

1. Изучить теоретический материал по теме «Числовые ряды» по вопросам:

1.1. Понятие сходимости и расходимости ряда.

1.2. Необходимый признак сходимости.

1.3. Пример: геометрическая прогрессия.

1.4. Ряды с положительными членами. Признак сравнения. Признаки Коши и Даламбера.

1.5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

2. Изучить теоретический материал по теме «Степенные и функциональные ряды» по вопросам:

2.1. Понятие степенного ряда. Интервал сходимости степенного ряда.

2.2. Теорема Абеля. Нахождение радиуса сходимости.

2.3. Свойства степенных рядов.

2.4. Понятие о рядах Тейлора, Маклорена.

2.5. Разложение в ряд Маклорена функций е^х, (1+х)^м, ln (1+x); sin x, cos x.

2.6. Приближенные вычисления с помощью рядов.

3. Изучить теоретический материал по теме «Ряды Фурье» по вопросам:

3.1. Тригонометрический ряд и его свойства.

3.2. Ряд Фурье. Сходимость ряда Фурье

3.3. Ряды Фурье для чётных функций.

3.4. Ряды Фурье для нечётных функций.

3.5. Ряды Фурье для функций с периодом 2l.

4. Выполнить задания:

Задача 1

Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

1) .	2) .	3) .
4) .	5) .	6) .
7) .	8) .	9) .

Задача 2

Установить характер сходимости знакочередующихся рядов:

1) .

2) .

3) .

4) .

Задача 3

Найти область сходимости степенных рядов:

1) .

2) .

3) .

4) .

Задача 4

Вычислить с заданной точностью:

1) , .

2) , .

3) , .

4) , .

Задача 5

Разложить в ряд Фурье функцию:

1) на отрезке .

2)

II. Контрольные вопросы для самопроверки

1. Что такое числовой ряд?

2. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда

3. Что называют суммой ряда?

4. Какие достаточные признаки сходимости для рядов с положительными членами вы знаете?

5. В чем состоит признак Даламбера?

6. Какие ряды называют сходящимися?

7. Какой вид имеет знакочередующийся ряд?

8. В чем заключается признак Лейбница?

9. Какой знакочередующийся ряд называют условно сходящимся, а какой – абсолютно сходящимся?

10. Какой вид имеет степенной ряд?

11. Как найти радиус сходимости степенного ряда?

12. Какие основные свойства у степенного ряда?

13. Сформулируйте теорему Абеля.

14. Какой степенной ряд называют рядом Тейлора?

15. Какой степенной ряд называют рядом Маклорена?

16. Каков вид разложения в ряд Маклорена функций e^x, sinx, cosx, (1+x)ⁿ, ln(1+x).

17. Какой функциональный ряд называют тригонометрическим?

18. Какой тригонометрический ряд является рядом Фурье?

19. По каким формулам вычисляют коэффициенты ряда Фурье?

20. Какой вид имеет ряд Фурье для четной функции?

21. Какой вид имеет ряд Фурье для нечетной функции?

22. Какова область сходимости ряда Фурье?