Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Вычислим индукцию магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником с током в произвольной точке М. Мысленно разобьем проводник на элементарно малые участки длиною . Согласно правилу буравчика в точке М векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей , причем

. (3)

Для интегрирования нужно переменные , , и выразить через одну какую-либо из них. В качестве переменной интегрирования выберем угол . ВС — есть дуга окружности радиуса r с центром в точке , равная (см. рисунок). Выразим из прямоугольного треугольника АВС: . Подставив это выражение в (3) получим . Из треугольника АОМ определим , где — кратчайшее расстояние от точки поля до линии тока. Тогда

.

Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегрированию от до , находим .

Таким образом, индукция магнитного поля, созданного прямолинейным током конечной длины будет равна

.

В дальнейшем, я введу понятие вектора напряженности магнитного поля , которое связано с индукцией магнитного поля соотношением , , где — магнитная проницаемость среды. Для вакуума , для воздуха . Тогда напряженность магнитного поля, созданного проводником конечной длины будет равна

.

Для прямолинейного проводника бесконечной длины углы и будут равны , , а выражение в скобках принимает значение . Следовательно, индукция и напряженность магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током бесконечной длины равны соответственно

, .

Магнитное поле кругового тока

В качестве второго применения закона Био — Савара — Лапласа вычислим индукцию и напряженность магнитного поля на оси кругового тока. Обозначим радиус окружности проводника с током через , расстояние от центра кругового тока до исследуемой точки поля через h. От всех элементов тока образуется конус векторов , и легко сообразить, что результирующий вектор в точке будет направлен горизонтально вдоль оси . Для нахождения модуля вектора достаточно сложить проекции векторов на ось . Каждая такая проекция имеет вид

,

где учтено, что угол — между векторами и равен , поэтому синус равен единице. Проинтегрируем это выражение по всем

.

Интеграл — есть длина окружности проводника с током, тогда

.

Учитывая, что , запишем

и, применяя теорему Пифагора, получим,

,

а для напряженности магнитного поля

.

Магнитная индукция и напряженность магнитного поля в центре кругового тока, ( , ) , соответственно равны

, .

Взаимодействие параллельных проводников с током.

Единица силы тока.

Найдем силу на единицу длины, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами и , если расстояние между проводами равно . Каждый элемент тока находится в магнитном поле тока , а именно в поле . Угол между каждым элементом тока и вектором поля равен 90°.

Тогда согласно закону Ампера, на участок проводника с током действует сила

,

а на единицу длины проводника эта сила будет равна

.

Для силы действующей на единицу длины проводника с током , получается, то же выражение. И наконец. Определяя направление вектора при помощи правила правого винта, и направление силы Ампера при помощи правила левой руки убедимся, что токи одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные отталкиваются.

Если по проводникам, находящимся на расстоянии протекают одинаковые токи , то на каждый метр длины проводников действуют силы равные по или, учитывая что , получим

.

Из этого соотношения вводится единица измерения силы тока.

Ампер есть сила постоянного тока, который, будучи поддерживаемым, в двух параллельных, прямолинейных проводниках бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенных на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывает между этими проводниками возникновение силы взаимодействия на каждый метр длины равной .

Графическое представление поля . Теорема Гаусса

Как и другое векторное поле, поле может быть представлено с помощью линий вектора . Их проводят так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора , а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора в данном месте. Полученная таким образом геометрическая картина позволяет судить о конфигурации данного магнитного поля. А теперь сформулируем теорему Гаусса для магнитного поля: Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Она выражает тот факт, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца являются замкнутыми линиями. Поэтому число линий вектора , выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью , всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Тогда и дивергенция векторного поля всюду будет равной нулю

, или в другой записи .

Это означает, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи. Этот закон является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.