Тема ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1. Основные понятия
2. Таблица производных
3. Производная сложной функции

4. Производная произведения и частного

5. Производная тригонометрических функций

6. Производные показательной и логарифмической функций

7. Логарифмическое дифференцирование

8. Дифференцирование функций, заданных неявно

Дифференцирование функций, заданных параметрически

9. Понятие о производных высших порядков

С производной мы сталкиваемся в тех случаях, когда нужно определить скорость изменения одной величины (функции) в зависимости от изменения другой величины (независимой переменной). Например, скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.д.

Производной функции у =f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует: .

Обозначают: у′ , f′(x), ; .

Производная у′ представляет собой скорость изменения функции у относительно аргумента х в точке х.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной: производная f′(xо), есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f(x), в точке х_о, т.е. k=f′(x_о).

Механический смысл производной: производная пути по времени S′(t_o) есть скорость точки в момент t_o: v(t_o)=S′(t_o).

Задача 1. Найти производную функции .

Решение. 1). Дадим аргументу х приращение и найдем наращенное значение функции ;

2) Приращение функции:

;

3) Составляем отношение ;

4). Находим предел .

Задача 2. Найти производную функции при х=2.

Решение. ;

;

; .

При х=2 значение производной .

Можем сказать, что число 8 есть скорость изменения функции при х=2. Найдя производную , мы нашли и тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х=2 к оси 0х.

Эту же задачу можно решить так: т.к. , .

Перейдем от значения х=2 к значению : ;

;

;

(Здесь мы нашли значение производной данной функции при х=2, минуя нахождение производной, как функции х ).

Задача 3. Точка движется по прямой по закону . (S - путь, измеряется в см., t – время в секундах). Найти среднюю скорость точки за время от t=2с до с, считая, что ; 0,5; 0,01; 0,001. Вычислить скорость точки в момент t=2с.

Решение. v_ср= .

v_ср= = ,

.

При t=2с, =1с: v_ср= (см/с);

t=2с, =0,5с: v_ср= (см/с);

t=2с, =0,01с: v_ср= (см/с);

t=3с, =0,001с: v_ср= (см./сек.);

v(2)= .

Мы видим, что чем меньше , тем ближе значение средней скорости к истинной скорости в момент t=2с.

2. Точка движется по прямой по закону . Найти среднюю скорость за промежуток времени от до , где 0,5; 0,3; 0,1. Определить скорость в момент t=1с. (S измеряется в сантиметрах, t - секундах).

В дальнейшем вычислять производные функций мы будем по формулам, которые выводятся исходя из определения производной.

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна 1, т.е. .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

4. (верно для любого конечного числа дифференцируемых функций),

5. ,

6. .

Таблица производных:

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8.

Найти производные функций:

1) .

Воспользуемся формулой (1) из таблицы: .

2) .

Если функция имеет иррациональность, рекомендуется переписать ее с дробным показателем степени.

Перепишем в виде: , тогда и учитывая (1):

.

3) .

Перепишем: , воспользуемся формулой (1) и тем, что постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

4) .

; .

5)

Мы имеем алгебраическую сумму нескольких функций. .

6) .

Перепишем: .

.