Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Ñ Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности j(х) называется величина: М(Х)= = Ñ Дисперсией непрерывной с.в. Х (с математическим ожиданием М(Х)=а и плотностью вероятности j(х)) называется величина: D(X)= Замечание: Можно доказать, что D(X)= - Найдем значения M(X), D(X) в случае примера 7: M(X)= = = = (27-1)»2,17. D(X)= = - = - » 5,0 – 4,7 = 0,3. Задачи для самостоятельного решения: 1) Посажено два саженца кустарника разных сортов. Вероятность, что первый приживется 0,8, второй – 0,7. Составить закон распределения для случайной величины, характеризующей возможное количество прижившихся саженцев. Построить многоугольник распределения для соответствующей случайной величины. Найти характеристики: М(Х), s. 2) Одновременно бросают две игральные кости. Составить закон распределения для случайной величины, характеризующей возможную сумму очков на обеих костях. Построить многоугольник распределения для соответствующей дискретной случайной величины. Найти ее характеристики: М(Х), s. 3) Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения: F(X)= (a, b – const.) Определить: А) Неизвестные параметры: а, b, Б) Соответствующую функцию плотности распределения, В) Характеристики: М(Х), s. 4) Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: j(Х)= Определить: А) Неизвестный параметр а, Б) Вероятность попадания случайной величины Х на отрезок [-1,3], В) Интегральную функцию распределения F(X), Г) Характеристики: М(Х), s. Контрольные вопросы
10.4 Некоторые законы распределения 1. Биномиальное распределение Речь пойдет о серии из n независимых повторных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А происходит с одной и той же вероятностью Р(А) = р (вероятность противоположного события , p( ) =1- р = q). Вопрос: Какова вероятность, что событие А при этом произойдет ровно m раз? (m£n). Пример 1. Монета подбрасывается три раза. Какова вероятность, что «орел» при этом выпадет ровно 2 раза? Обозначим: А={выпадение «орла» при однократном испытании}. Очевидно p(А)=0,5; p( )=1- p(А) = 1- 0,5 = 0,5, где ={выпадение «решки» при однократном подбрасывании}. Если исследуемое событие обозначим: C={При 3-кратном подбрасывании «орел» выпадает 2 раза}, То С = АА + А А + АА, то есть «решка» выпадает третий или второй или первый раз. Используя теоремы сложения и умножения вероятностей: Р(С) = 3´ =3´ = =3 ´ = . В общем случае ответ на поставленный выше вопрос дает Формула Бернулли:
где вероятность появления события А m раз в серии n повторных испытаний. В общем случае формула доказывается с помощью метода математической индукции. Пример 2. Вероятность, что саженец яблони приживется, равна 0,8 (из 100 посаженных саженцев, в среднем, 80 приживаются). Какова вероятность, что из 5 посаженных саженцев приживутся: А) Ровно 3? Б) Не менее 3? Решение: А) Здесь n =5, m=3, p=0,8, q=1- p=0,2. 10´0,512´0,04=0,2048 Б) Не менее 3, это : или 3, или 4, или 5. Тогда: 0,2048+0,4089+0,3277»0,94. Так как: Пример 3. В примере 1 рассчитать вероятности всех возможных исходов, т.е. каковы вероятности, что при трех подбрасываниях монеты «орел» выпадет: ни разу, один, два или три раза? Решение: n=3, m=0,1,2,3; p=0,5; q=1- p=0,5. ; (0!=1)
Суммарный подсчет дает:
Такое разложение по всем возможным исходам представляет собой биномиальное распределение для случая n=3. Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1, так как они образуют полную группу исходов испытания, кроме того p+q=P(А)+P( )=1. Замечание: Слово бином дословно переводится как двучлен (некоторая степень суммы двух слагаемых). В общем случае рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с постоянной вероятностью Р(А) = p. Можно рассмотреть дискретную случайную величину Х, возможные исходы которой – это общее возможное количество наступлений события А, то есть числа: 0, 1, 2, …n-1, n. В соответствии с формулой Бернулли: Или располагая полученные значения в таблицу:
Получаем Биномиальный закон распределения для дискретной случайной величины Х. Числовые характеристики для такой случайной величины: M(X)=n´p; s =ÖD(X) = Ö(n´p´q).
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (592)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |