Определения и общие результаты

В предыдущих разделах мы уже дали феноменологическое определение коэффициента диффузии D и подвижности K. Но одно дополнительное замечание здесь стоит сделать: поведение ионов, присутствующих в качестве малой добавки к газу, отличается от общего случая диффузии ионов в произвольной смеси газов, поскольку во втором случае не реализуются условия одновременного обращения в нуль суммарного потока ионов и градиента полного давления частиц.

3.1.1. Вернемся к соотношению Эйнштейна. Соотношение Эйнштейна между коэффициентом диффузии D и подвижностью ионов K в пределе нулевого значения напряженности электрического поля носит весьма общий характер и опирается существенно только на то обстоятельство, что феноменологические уравнения, связывающие ток частиц с градиентом их концентрации и силой электрического поля, оказываются линейными, а отклонения от равновесного распределения — малыми. Так что подобное соотношение имеет место не только в рассматриваемом сейчас случае разреженной плазмы, но и для плотных газов, жидкостей и твердых тел. По-видимому, наиболее изящный вывод соотношения Эйнштейна проводится методами теории временных корреляционных функций. Ниже мы будем следовать менее красивому, но более наглядному выводу, использующему те же самые исходные предпосылки. Ввиду линейности уравнений плотность потока ионов при наличии градиента их концентрации и внешнего электрического поля дается соотношением

.

Это уравнение справедливо в общем случае; для нахождения связи между D и K, можно рассмотреть любой подходящий частный пример. Ограничим себя равновесными условиями, когда поток ионов и градиент легко найти методами равновесной статистической механики. Физический смысл рассматриваемых условий заключается в том, что наложенное электрическое поле устанавливает перепад концентрации ионов, который в равновесии должен компенсироваться за счет диффузии ионов в направлении уменьшения концентрации ионов. Равновесная функция распределения ионов в электрическом поле описывается больцмановским законом; в дифференциальной форме он имеет вид

,

или, в случае трех измерений,

.

Подставляя теперь в уравнение и положив , получим искомое соотношение Эйнштейна

.

Использованное выше требование линейности феноменологических уравнений справедливо только в том случае, если электрическое поле достаточно слабое Е/р<< 2 (В/см×мм рт. ст.)в соответствии с выводами, сделанными ранее.

Для случая разреженных газов найденное соотношение Эйнштейна непосредственно следует из решения линеаризованного больцмановского уравнения в пределе слабого электрического поля. Приведенный выше вывод показывает, однако, что это соотношение носит более обший характер, чем уравнение Больцмана, описывающее только процессы парных столкновений частиц. Следовательно, соотношение Эйнштейна имеет место не только в первом, но и во всех последующих порядках приближения для решения кинетического уравнения.

3.1.2. Рассмотрим зависимости от плотности и силы внешнего поля. То обстоятельство, что для разреженных газов процессы диффузии и подвижности ионов определяются парными столкновениями частиц, позволяет сделать без детального анализа явлений некоторые важные заключения. Во-первых, как коэффициент D, так и подвижность ионов K в пределе нулевого электрического поля должны быть обратно пропорциональны плотности числа молекул газа N (напомним, что плотность числа ионов ). Причина этого заключается в том, что число событий (соударений), препятствующих ускорению ионов в поле, увеличивается пропорционально N и, значит, скорость дрейфа v_d обратно пропорциональна N; коэффициенты D и K ведут себя подобно v_d. Такой вывод, несмотря на кажущуюся случайность, представляет собой точный результат, поскольку для рассматриваемого явления существенно только число столкновений частиц, а частота столкновений ионов с частицами газа в условиях протекания бинарных процессов обратно пропорциональна N. При более высоких значениях напряженности поля полученный выше результат несправедлив, поскольку частота столкновений уже сама зависит от скорости дрейфа ид, когда последняя не является больше пренебрежимо малой по сравнению с тепловыми скоростями частиц газа: ведь более быстрые ионы сталкиваются чаще, чем более медленные. Скорость дрейфа v_d должна зависеть от E и N только через их отношение, E/N даже в том случае, если условия ее прямой пропорциональности параметру Е/N нарушены, поскольку частота столкновений всегда определяется комбинацией Е/N. Этот вывод опять точен, так как он основан исключительно на анализе числа соударений частиц и не зависит от конкретного вида модели, из которой его получают. В следующем параграфе это будет явно показано. В итоге такие характеристики движения ионов в газе, как v_d, D_L и D_T, зависят только от параметра Е/N при любых напряженностях_поля, хотя между ними и нет столь общего соотношения, как соотношение Эйнштейна, справедливое в случае слабого внешнего поля.

Еще один общий результат можно получить из соображений симметрии. По мере увеличения параметра Е/N от нулевого значения подвижность ионов K становится функцией Е/N, а требование изотропии пространственного распределения частиц газа (внешнее поле влияет на газ только косвенно, через столкновения частиц с ионами при очень малой концентрации последних) приводит к тому, что K может быть лишь четной функцией параметра E/N. В итоге разложение функции K в ряд по степеням Е/N должно включать только четные степени

.

Этот результат справедлив для любой изотропной среды, а не только для разреженного газа. Сама форма разложения ограничена, однако, условием поддержания не слишком большой по величине напряженности электрического поля.