Теория передачи импульса

Основная цель проводимого ниже анализа диффузии ионов в газе в рамках теории передачи импульса при столкновении частиц состоит в том, чтобы показать, как простыми физически наглядными средствами можно получить зависимость сечения рассеяния σ_d согласно уравнению . К тому же мы увидим, что результаты для подвижности ионов при использовании приближения свободного пробега и импульсного приближения практически совпадают. Подобная аналогия не имеет, однако, общего характера и связана с тем, что рассматриваются лишь следы примеси ионов к газу. Для произвольной смеси газов соответствующие результаты оказываются различными, по крайней мере в первом приближении. Анализ подвижности ионов в смеси нескольких газов проводится особенно просто в рамках теории передачи импульса и также здесь затрагивается.

Представления о свободном пробеге частиц между столкновениями были сформулированы еще Максвеллом. Интересно отметить, что Максвелл первым подошел к описанию диффузии как процесса, связанного с передачей импульса между частицами при столкновении, но не сумел преодолеть возникшие трудности (из-за ошибки, которая была исправлена Клаузиусом). Последняя теория была независимо раз-вита Стефаном и позднее использована Ланжевеном при создании первой математически строгой теории подвижности ионов при слабых электрических полях. После этого никто, явно, не вспоминал об этой теории в течение многих лет, пока она не была открыта еще раз (по-видимому, тоже независимо) Френкелем и Презентом и де-Бетаном. Одним из стимулов для ее воссоздания явилась проблема разделения изотопов, вставшая в годы второй мировой войны.

Особенно просто представление об обмене импульсами при столкновении частиц объясняет подвижность ионов в газе. Из второго закона Ньютона следует, что электрическое поле передает импульс ионам, но поскольку последние в среднем не ускоряются, этот импульс должен быть передан молекулам, с которыми ионы сталкиваются. За одно столкновение от иона к молекуле газа передается импульс, компонента которого вдоль направления относительной скорости v_r имеет вид

.

Если теперь усреднить это выражение по многим столкновениям, то следует ожидать в среднем обращения в нуль всех случайных компонент движения и рассматривать вклад только от дрейфовой скорости иона. Отсюда получаем, что за одно столкновение молекуле газа передается импульс, в среднем равный . Среднее число столкновений, которые ион испытывает в единицу времени в единице объема, когда прицельное расстояние находится в интервале междуρ и ρ + dρ, равно

.

Таким образом, полный импульс, переданный от иона газу и равный еЕ, имеет вид

.

С точностью до множителя ξ порядка единицы выражение совпадает с формулами и в теории свободного пробега, причем сечение рассеяния определяется соотношением

.

Посколькумы стремились найти только вид сечения σ_d, проведенное выше достаточно грубое усреднение передаваемого импульса по столкновениям можно считать приемлемым; заметим, однако, что более строгий подход позволяет также определять и правильную численную величину множителя ξ.

Полученные выше соотношения можно использовать для дальнейшего построения теории рассматриваемого явления, но их вывод, очевидно, не отличается существенно от выводов теории свободного пробега и здесь может быть опущен. Только что описанный подход, однако, настолько непосредственно можно обобщить на случай ионов в многокомпонентных смесях газов, что провести это обобщение лучше всего сейчас. При учете только парных столкновений частиц полный импульс, переданный ионом в единицу времени газу в единице объема, является просто суммой импульсов, переданных ионом молекулам каждого сорта, так что обобщение выражения на случай смеси газов приводит к уравнению

или, в более подробной записи,

.

Полученный результат справедлив при любой напряженности электрического поля. В расчетах мы вполне можем пренебрегать численным множителем ξ, поскольку в окончательном виде результаты будут выражены через скорости дрейфа ионов в чистых газах. В пределе слабого внешнего поля энергия движения ионов целиком определяется тепловым движением и

,

так что из уравнения следует

.

Каждый член написанной суммы определяет скорость дрейфа иона в чистом газе молекул j-го сорта с плотностью N, равной суммарной плотности числа частиц смеси:

,

используя это уравнение, приведем к виду

,

где называется мольной долей частиц j-го сорта в смеси газов.

Удобнее переписать последнее уравнение в другой форме

или, вводя подвижность ионов,

.

Последний результат известен как закон Бланка.

При анализе движения ионов в сильном внешнем поле встает проблема определения вклада в среднюю энергию движения ионов от энергии дрейфового движения и случайной компоненты энергии, обусловленной электрическим полем. Задача решаемая, но мы ее рассматривать в данном курсе лекций не будем.

Теория слабого поля

Ввиду того что при слабых полях, наложенных на плазму, выполняется соотношение Эйнштейна, теория подвижности ионов в этих условиях вполне эквивалентна классической кинетической теории диффузии. Впервые строгая формулировка кинетической теории газов была дана во второй половине XIX в. в работах Максвелла и Больцмана, однако им не удалось преодолеть множества математических проблем, связанных с расчетом явлений переноса в газовой среде. Первые решения макроскопических уравнений переноса в 20-е годы нашего века независимо получили два исследователя — Чепмен, который исходил из максвелловского уравнения переноса частиц, и Энског, исходивший из больцмановского уравнения для функции распределения частиц. Здесь мы очень кратко, схематично изложим метод Чепмена—Энскога решения интегро-дифференциального кинетического уравнения.

Все явления переноса в газе возникают из-за отклонений функции распределения частиц от равновесной (максвелловской). Поэтому основная проблема строгой кинетической теории заключается в отыскании неравновесной функции распределения, из которой путем интегрирования находят потоки различных величин. Например, диффузионный поток определяется интегралом от произведения скорости молекулы на функцию распределения частиц. Сравнение этого выражения с феноменологическим уравнением, определяющим коэффициент диффузии (см. ) позволяет выразить D через параметры, характеризующие процессы столкновения частиц.

Функцию распределения частиц находят из решения уравнения Больцмана, имеющего вид уравнения непрерывности. При описании движения ионов в смеси газов больцмановское уравнение записывают в следующей форме:

,

где выражение в правой части определяет изменение числа ионов благодаря столкновениям с частицами сорта j[16]. Суммирование распространяется на все нейтральные молекулы в смеси газов; поскольку мы предполагаем наличие только исчезающе малого количества ионов в среде, никакого члена, ответственного за взаимные столкновения ионов между собой, в уравнении нет. Значки штрихов отмечают скорости частиц после столкновений. Используемые функции распределения нормированы на величину плотности числа частиц, так что

,

.

Если найдено решение уравнения , то вычисление скорости дрейфа ионов проводится непосредственно

.

При слабом внешнем поле средняя энергия ионов связана с температурой среды соотношением

,

которое учитывает, что энергия дрейфового движения пренебрежимо мала по сравнению с тепловой.

При выводе кинетического уравнения Больцмана предполагают, что на функцию распределения влияют только парные соударения частиц. Кроме того, запись правой части этого уравнения в формеотвечает учету только упругих столкновений.

Дальнейшие выкладки очень сложны. В итоге первое приближение дает следующую зависимость для коэффициента диффузии:

.

Полученное соотношение аналогично результату в теории свободного пробега, поскольку представляет собой взвешенное среднее транспортное сечение рассеяния σ⁽¹⁾, которое в точности совпадает с σ_d.

Подводя итог, отметим, что эти результаты справедливы только в предельном случае нулевого электрического поля, когда полностью пренебрегают влиянием остальных частиц газа на процесс столкновения двух частиц, учитывают только упругие столкновения и считают отклонения от равновесия настолько малыми, что поток ионов линеен относительно градиента плотности числа частиц и напряженности электрического поля. Как уже отмечалось ранее, эти результаты верны в случае как квантовой, так и классической механики, но при условии, что кинетическое уравнение Больцмана справедливо.