Диффузия частиц, взвешенных в газах и жидкостях

Для исследователей, работающих во многих областях физической химии и техники, представляют интерес сведения о подвижности и коэффициентах диффузии малых частиц, взвешенных в газе или жидкости. Поскольку подвижность незаряженных частиц B связана с коэффициентом диффузии D соотношением Эйнштейна , будем говорить здесь только о подвижностях. Если сферическая частица радиуса R движется в жидкости, имеющей вязкость η, с постоянной скоростью V, то, как известно из гидродинамики, сила сопротивления среды, действующая на эту частицу, равна

.

Уравнение было получено Стоксом и носит его имя. Закон Стокса применим лишь для малых скоростей движения частицы. Область его применимости ограничивается требованием, чтобы число Рейнольдса (ρ — плотность жидкости), характеризующее движение частицы, было много меньше единицы. Кроме того, уравнение справедливо лишь при условии, что среда, в которой движется частица, — несжимаемая и бесконечно протяженная, а частица — твердая.

Из уравнения и определения подвижности B как коэффициента пропорциональности между скоростью и силой, действующей на частицу, следует:

.

В частности, если в газе средняя длина свободного пробега молекул мала по сравнению с размерами частицы, в формулу входит добавочный множитель , где величина A близка к единице. Полученное выражение носит название формулы Кенингема и имеет вид

.

Гидродинамическое описание движения частиц, размеры которых много меньше длины свободного пробега, в разреженных газах становится неприемлемым, и формула Стокса теряет свое значение. Формула Кенингема дает при этом верный характер зависимости F и R, но неправильный числовой множитель, и ее применение теоретически не обосновано.

Если длина свободного пробега молекул газа много больше радиуса частицы R, то движущаяся частица не нарушает максвелловского распределения скоростей молекул, и сопротивление газа, определяемое разностью импульсов, передаваемых передней и задней половинам частицы, будет пропорционально поверхности частицы, т.е. R². Расчет, выполненный методами кинетической теории газов, для сферических частиц приводит к выражению (формула Эпштейна)

,

где χ — числовой коэффициент, близкий к единице, зависящий от механизма отражения молекул от поверхности частиц (при зеркальном отражении молекул χ = 1);
п — число молекул в см³;
m —масса молекул;
v — средняя тепловая скорость молекул.

Большое практическое значение имеют случаи, когда средняя длина свободного пробега и радиус частицы соизмеримы.

Предположим, что частица окружена «граничной сферой» с радиусом , где β — неопределенный числовой коэффициент, близкий к единице, а внутри области; находящейся между поверхностью частицы и этой граничной сферой, газовые молекулы не испытывают соударения друг с другом. Далее примем, что молекула, влетающая через какой-либо элемент граничной сферы внутрь сферы, сохраняет там свою упорядоченную гидродинамическую скорость, а передача импульса граничной сфере от окружающего ее газа происходит по законам гидродинамики вязкой жидкости.

Рассмотрим сначала задачу об обтекании потоком неподвижной частицы. При малых значениях числа Re поле течения вязкого газа, обтекающего сферу, в полярных координатах ρ, θ описывается формулами

,

где V₀ — скорость течения жидкости вдали от частицы;
a и b — константы, подлежащие определению из граничных условий.

Средняя величина упорядоченной скорости в направлении вектора согласно сделанному предположению равна

.

Импульс, передаваемый частице в потоке молекулами среды, можно теперь вычислить методами кинетической теории газов аналогично тому, как была выведена формула . Для силы, действующей на частицу, получаем

.

В последнюю формулу входит пока еще нам не известная постоянная а. Чтобы определить ее, нужно приравнять силу, действующую на частицу, гидродинамической силе, действующей на граничную сферу, которая через постоянную а и другие параметры выражается следующим образом:

.

Приравнивая и , находим

.

Для того чтобы вернуться к поставленной в начале параграфа задаче о сопротивлении среды движущемуся шару, подставим найденное выражение в и возьмем силу F со знаком минус. Используя для η выражение , окончательно получим

.

При λ/R << 1 приходим к закону Стокса , при λ/R >> 1 — к формуле Эпштейна . Постоянная β в определяется из требования, чтобы выражение асимптотически переходило в формулу Кенингема . Полученное таким образом уравнение очень хорошо согласуется с экспериментальными данными о подвижности масляных капель в воздухе.

Проведенное рассмотрение показывает, что в тех случаях, когда параметр, характеризующий линейные размеры частицы, сравним с длиной свободного пробега молекул, для вычисления силы сопротивления вблизи от поверхности частицы надлежит пользоваться методами кинетической теории газов, а на расстоянии, примерно равном средней длине свободного пробега и более его, — гидродинамическими методами. Аналогичным образом для вычисления потоков диффузии вблизи поверхностей раздела следует пользоваться газокинетическим описанием, а на расстояниях больше λ — диффузионным. Такое «сшивание» решений, полученных разными методами, приводит обычно к достаточно точным результатам.