Примеры решения задач на закон Кулона

Пример 1. Два одинаковых по размеру маленьких металлических шарика имеют заряды q₁ = 7мкКл и q₂ = - 3 мкКл. Шарики привели в соприкосновение и развели на некоторое расстояние. Определите это расстояние r ( в см.), если сила взаимодействия зарядов при этом оказалась равной F = 40 Н.

Дано:

q₁=7мкКл

q₂=-3мкКл

F = 40 Н

Найти:

r= ?

Анализ: Маленькие заряженные шарики можно считать точечными зарядами.

Система шаров является электроизолированной и для нее выполняется закон сохранения заряда. При приведении их в соприкосновение происходит перераспределение суммарного заряда. Поскольку размеры шариков одинаковые, то суммарный заряд системы поделится между ними поровну. Рисунок в этой задаче необязателен, т.к. при написании уравнений, из которых мы будем находить искомую величину, направления сил неважны. Нам в условии задан модуль силы взаимодействия зарядов после их соприкосновения.

Решение: Закон сохранения заряда: в любой электроизолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов остается величиной постоянной.

В нашем случае .

Отсюда заряд каждого шарика после их соприкосновения равен:

Записав закон Кулона в конечном положении

,

Определим расстояние между зарядами в конечном состоянии:

.

Выполним подстановку численных значений

.

Ответ: .

Пример 2.Два одинаковых по размеру маленьких металлических шарика висят на длинных непроводящих нитях равной длины, закрепленных в одной точке. Шарики заряжены одинаковыми зарядами и находятся на расстоянии друг от друга. Что произойдет, если один из шариков разрядить?

Дано:

Найти:

Анализ: Два одинаковых шарика, заряженные одинаковыми одноименными зарядами, висят на длинных непроводящих нитях равной длины, закрепленных в одной точке, и сохраняют равновесие ( см. рис. а ). На каждый шарик при этом действуют три силы: сила тяжести , сила натяжения нити и сила кулоновского отталкивания , поскольку заряды шариков одноименные. После того как один шарик разрядили, равновесие нарушится, шарики столкнуться и при этом оставшийся заряд одного шарика поделится между ними поровну, т.к. шарики имеют одинаковые размеры. Зарядившись опять одноименными зарядами, они оттолкнутся и равновесие восстановится, но расстояние между шариками изменится, станет равным ( см. рис. б ), т.к. все силы, действующие на шарики, изменятся.

Решение: Выполним рисунок к данной задаче. Покажем два случая: (а) - положения шариков в начальный момент; (б) – положения шариков после изменения их зарядов. Из рисунка видно, что система симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через точку прикрепления нитей, поэтому для решения задачи достаточно рассмотреть поведение одного из шариков и записать для него условия равновесия. Если тело не движется поступательно, то для него можно записать следующее условие равновесия: векторная сумма сил, действующих на тело равна нулю, т.е. . Проектируя это уравнение на оси координат декартовой системы, выбор которой показан на рисунке, получаем два уравнения

или

или

Эта система уравнений будет иметь одинаковый вид для первого и второго случаев, поэтому сначала найдем решение этой системы уравнений в общем случае, а потом применим полученный результат для нахождения искомой величины в нашем конкретном случае. По условию задачи нить длинная, т.е. и поэтому . Поделив правую часть первого уравнения на правую часть второго уравнения и соответственно поделив левые части уравнений, получим

или .

Величину силы взаимодействия зарядов запишем, используя закон Кулона:

.

Для малых углов величина малая, но неравная нулю. Из рисунка видно, что .

Подставим выражения для силы Кулона и тангенса угла α, получим уравнение из которого можно выразить расстояние между зарядами в общем случае

или .

Теперь вернемся к условию нашей задачи. В первом случае каждый шарик имеет заряд и расстояние между ними . В о втором случае один шарик разрядили, а заряд второго разделился поровну между двумя шариками, поэтому их заряды во втором случае будут одинаковые и равные ; расстояние между ними будет . Учитывая все это, можно записать полученное уравнение для двух случаев:

и .

Решая эту систему уравнений, получаем

, отсюда находим искомое расстояние между зарядами во втором случае . Подставив численные значения,

Получаем

Ответ: После разрядки одного из шариков заряд второго шарик при их соударении поровну разделится между ними и оттолкнувшись шарики разойдутся на расстояние .

Пример 3.

Три одинаковых точечных заряда q₁ = q₂ = q₃ = 2 нКл находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 10 см. Определить модуль и направление силы F, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

Дано:

q₁ = q₂ = q₃ = 2 × 10^-9 Кл;

а = 10 см

F - ?

Решение

Нарисуем три заряда и покажем направление двух сил, действующих со стороны первого и второго зарядов на третий.

Все заряды положительные, значит, они отталкиваются.

Нарисуем суммарный вектор силы, действующей на третий заряд. Из рисунка видно, что эта сила направлена вертикально вверх. Углы все известны.

Находим величину результирующей силы

F = F₁ Cos 30⁰ + F₂ Cos 30⁰,

где .

Окончательно получаем:

;

.

Ответ: сила, действующая на третий заряд со стороны двух других зарядов, равна 7.2×10^-6 Н и направлена вертикально вверх на нашем рисунке.