Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрического поля

Расчет электрического поля, основанный на непосредственном применении закона Кулона и принципа суперпозиции, достаточно несложный в случае небольшого количества зарядов или очень простой геометрии заряженных тел. В более сложных случаях применение непосредственно принципа суперпозиции приводит к громоздким математическим выкладкам. Существует несколько методов облегчения решения таких задач. Один из них основан на теореме Гаусса.

Поток вектора напряженности.Прежде, чем формулировать теорему Гаусса, рассмотрим понятие потока вектора напряженности через некоторую площадку . По определению:

Поток вектора напряженности электрического поля через некоторую площадь равняется скалярному произведению этих векторов:

,

где - вектор напряженности электрического поля; - вектор, численно равный площади, через которую проходит поток вектора ; направление этого вектора совпадает с направлением единичного вектора , перпендикулярного к этой площадке. α - угол между вектором и единичным вектором .

В случае однородного поля угол α является постоянным ( см. рис. а).

В случае неоднородных полей поток вектора напряженности через произвольную поверхность вычисляется следующим образом с помощью интегрирования:

, если поверхность замкнутая, то .

Элементарная площадка должна быть достаточно малой, чтобы ее можно было считать плоской, а напряженность поля во всех ее точках одинаковой ( см. рис. б).

Поток вектора - алгебраическая скалярная величина, ее знак зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, т. е. от угла между вектором и нормалью . В теореме Гаусса речь идет о замкнутых поверхностях, поэтому договоримся под нормалью к поверхности считать внешнюю нормаль, т.е. нормаль обращенную наружу.

Для более наглядной геометрической интерпретации этой физической величины можно дать еще такое ее определение: поток вектора это число силовых линий вектора напряженности электрического поля, пронизывающих данную площадь S.

Теорема Гаусса

В 1830 г. К. Гаусс сформулировал теорему (теорема Гаусса) – основную теорему электростатики, которая устанавливает связь между потоком вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность и суммарным электрическим зарядом, находящимся в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Формулировка теоремы:

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрические постоянные ε,ε₀.

,

где - поток вектора напряженности через выбранную замкнутую вспомогательную поверхность; - суммарный заряд, охватываемый выбранной поверхностью. Если воле создано системой зарядов, то под суммой зарядов следует понимать алгебраическую сумму всех зарядов, охватываемых поверхностью :

.

В том случае, когда заряды распределены непрерывно, суммарный заряд вычисляется по одной из формул:

; ; ,

где - - объемная плотность заряда; - поверхностная плотность заряда; - линейная плотность заряда; V, S, l - соответственно, объем, поверхность, линия, по которым распределены заряды, охватываемые поверхностью интегрирования.