Теорема Гаусса для поля в диэлектрике

Уменьшение напряжённости электрического поля на поверх-ности диэлектрика происходит скачком (поскольку именно на поверхности расположены связанные заряды), что вызывает некоторые сложности при расчётах электрических полей в веществе.

Например, если пространство заполнено несколькими слоями разных диэлектриков, то даже в самой простой ситуации расчёт будет довольно сложным, так как из-за связанных зарядов в каждом слое будет своя напряжённость электрического поля.

Поэтому необходима такая характеристика электрического поля, которая не зависит от связанных зарядов. Чтобы получить такую характеристику, поступим следующим образом.

Как уже отмечалось, напряжённость поля внутри диэлектрика Е = Е_о – Е¢, где Е¢ – напряжённость поля связанных зарядов, равная s¢¤e_о.

Напряжённость внешнего электрического поля, созданного свободными зарядами двух параллельных бесконечных прово-дящих плоскостей, можно выразить как Е = s_своб¤e_о.

Тогда напряжённость электрического поля внутри ди-электрика

.

Поскольку s¢ = Р,

.

Тогда

или

e_оЕ + Р = s_своб.

Таким образом, величина e_оЕ + Р не зависит от наличия связанных зарядов. Эту величину называют электрическим смещением.

Определение электрического смещения можно записать в векторной форме

или, поскольку Р = ke_оЕ,

.

Вектор электрического смещения в изотропных диэлектриках совпадает по направлению с вектором напряжённости электри-ческого поля внутри диэлектрика, так как в изотропных диэлектриках диэлектрическая проницаемость e является скаляр-ной величиной*.

Размерность вектора электрического смещения [D] = Кл/м².

Электрическое смещение является вспомогательной характе-ристикой электрического поля, зависящей только от свободных зарядов.

Таким образом, получена характеристика электрического поля, не зависящая от связанных зарядов. Использование такой характеристики даёт очевидные преимущества. Действительно, используя электрическое смещение, можно рассчитать электрическое поле (значение вектора D) как внутри диэлектрика, так и вне его, учитывая только свободные заряды. После этого легко найти напряжённость электрического поля в любой точке,

______________________________

* В анизотропных диэлектриках диэлектрическая проницаемость является тензорной величиной и, в общем случае, D и Е по направлению не совпадают.

просто поделив значение D в этой точке на значение ди-электрической проницаемости e в этой точке и на электрическую постоянную e_о.

Рассчитывать электрическое поле в пространстве с ди-электриком можно с помощью теоремы Гаусса. Применительно к электрическому смещению она в любой среде имеет вид

и может быть прочитана следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность ра-вен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверх-ностью *. Знать, каковы по величине связанные заряды и как они распределены в пространстве, в этом случае не нужно.