Признак существования предела функции

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, при предела не имеет, хотя .

При решении некоторых задач бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции, а числовое значение предела при этом имеет второстепенную роль. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Укажем такой признак.

Теорема.

Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

, , ,

то

.

Два замечательных предела

Замечательными (вследствие большого числа их приложений) в математике называются пределы двух следующих функций, когда их аргумент х стремится к нулю:

и .

Первый замечательный предел

Теорема.

Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла в радианах равен единице:

.

Это равенство указывает на тот факт, что при очень «небольших» значениях х

.

Первый замечательный предел часто используют при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции.

Второй замечательный предел

Можно доказать, что функция

при стремится к числу е:

.

Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 ( …). Число е служит основанием натуральных логарифмов ( ) и играет важную роль в математике.

Дадим другое выражение для числа е. Полагая ( , т.к. ), будем иметь

.

Оба равенства называют вторым замечательным пределом. С помощью числа е удобно выражать многие пределы.

Замечание.

Показательная функция вида

называется экспоненциальной, употребляется также обозначение

.

Эквивалентные бесконечно малые

Пусть и − бесконечно малые функции при (или ), т.е. и .

Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ).

Обозначается: .

Например, при , т.к. .

Для эквивалентных бесконечно малых справедливы следующие свойства:

1. Если при , то .

2. Если и при , то при .

3. Если и при , то , т.е. предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых.

Последнее свойство означает, что при нахождении предела, можно бесконечно малые, стоящие в числителе или в знаменателе или в обоих, заменять эквивалентными им величинами, в частности, более простыми. Такой прием часто применяют при вычислении пределов функций.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которыми пользуются при вычислении пределов функций:

1.		при
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.