Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определению (п.4.1) часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы функции , , (при условии, что ) и при этом ; ; , .
Следствия 1. , где . 2. Если , то . 3. , где .
Производная сложной функции Пусть и , тогда − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.
Теорема. Если функции имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в точке х имеет производную , которая находится по формуле: или = .
Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих. Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов. Так, если , , , , то .
Производная обратной функции Если и − взаимо-обратные дифференцируемые функции и , то или , т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Записывают: или .
Пример Найти производную функции . , , тогда , . Имеем . . Итак, .
Таблица производных Для удобства и упрощения процесса дифференцирования формулы производных основных элементарных функций и правила дифференцирования сведены в таблицу.
Примеры отыскания производных сложных функций На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Покажем на примерах, как находить производные от таких функций.
1. , k − число. ; .
2. . ; .
3. . ; .
4. . ; .
5. . ; .
6. . ; ; .
7. . .
8. . ; .
9. . .
10. . ; .
Для случая дифференцирования сложных функций, таблицу производных можно переписать в более общем виде.
Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента ( )
Производная функции, заданной параметрически Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений: где t − вспомогательная переменная (параметр). Функцию , определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где . По правилу дифференцирования сложной функции имеем: . Так как , то .
Примеры Найти производные функций: 1. .
2. .
Производная неявной функции Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразив через х и у.
Пример Найти производную функции: . ; ; ; .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1480)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |