Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Основные теоремы дифференциального исчисления



2015-11-27 2829 Обсуждений (0)
Основные теоремы дифференциального исчисления 4.50 из 5.00 6 оценок




Знание производной некоторой функции позволяет делать заключение о поведении самой функции. В основе различных приложений понятия производной лежат несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления.

 

Теорема(теорема Ферма*).

Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

 
 

 

 


Рис. 4.2

 

Геометрически это означает, что в точке с абсциссой ( ) касательная к графику функции параллельна оси Ох (рис. 4.2).

 

Теорема(теорема Ролля*).

Если функция

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. ,
то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с, в которой производная данной функции равна нулю, т.е. .

 

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (рис.4.3).

 

 
 

 

 


Рис. 4.3

 

Теорема(теорема Лагранжа*).

Если функция

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с такая, что справедлива формула

или

.

 

Последнее равенство читается так: приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой внутренней точке интервала на приращение независимой переменной.

Эту формулу называют формулой конечных приращений.

 

Теорема(теорема Коши*).

Если функции и

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные и на интервале ;

3) производная на интервале ,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с такая, что справедлива формула

.

 

Теорема Коши устанавливает связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка.

 

4.18. Правило Лопиталя*для раскрытия неопределенностей

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей при помощи производных. Этот способ обычно называют «Правилом Лопиталя».

Напомним, что под неопределенностями понимают неопределенные выражения вида: , встречающиеся при вычислении пределов функций. Некоторые элементарные приемы раскрытия неопределенностей были даны (п.2.13).

Теперь, опираясь на теорему Коши, введем правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа и , которые являются основными видами неопределенностей.

 

Неопределенность вида

Теорема(правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

,

то существует и предел , причем справедлива формула

= .

 

Теорема дает правило, сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.

 

Замечания.

1. Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применять повторно.

Получим при этом

= .

2. При вычислении предела отношения производных допустимы различные упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование уже известных пределов.

3. Теорема справедлива и в случае, когда (
или ).

Пусть требуется найти , если .

Сделаем подстановку . Тогда, если , то . Имеем

.

 

Примеры

Найти пределы функций:

1. .

 

2. .

 

3. .

 

4. .

Неопределенность вида

Теорема(правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки ,кроме, быть может, самой точки . Пусть и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

,

то существует и предел , причем справедлива формула

= .

 

Замечания, сделанные для первой теоремы справедливы и для второй теоремы.

 

Примеры

Найти пределы функций:

1.

.

 

2. .

 

3.

.

 

Чтобы раскрыть неопределенности видов , их путем алгебраических преобразований сводят к неопределенностям типа или , после чего применяют правило Лопиталя.

Неопределенность вида

Пусть и . Требуется найти .

Перепишем искомое выражение в виде

или

и применим правило Лопиталя.

 

Примеры

Найти пределы функций:

1. .

 

2.

.

Неопределенность вида

Пусть , .

Тогда .

Сводим данное выражение к неопределенности :

Примеры

Найти пределы функций:

1.

.

 

2.

.

Неопределенности видов

Такие неопределенные выражения возникают при вычислении пределов показательно-степенной функции

,

когда имеет место один из трех случаев:

а) , ;

;

б) , ;

;

в) , ;

.

В этих случаях поступают следующим образом:

1) логарифмируют функцию, стоящую под знаком предела,
т.е., если

,

то

;

2) вычисляют предел

.

Предел представляет собой неопределенность уже изученного типа . Ее раскрываем сведением к неопределенностям вида или и применяем правило Лопиталя.

Следует заметить, что вычисляется предел не от заданной функции, а от ее логарифма.

3) Находят предел функции у.

Пусть или (в силу непрерывности логарифмической функции).

Тогда

,

т.е.

.

 


Примеры

Найти пределы функций:

1.

; ;

.

;

; .

 

2. .

; ;

;

;

.

 

3. .

; ;

;

;

.

Упражнения

Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти производные функций:

1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. 12. .

 

Применив правило дифференцирования сложной функции, найти производные функций:

13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. .

 

Найти производные для функций, заданных параметрически:

25. ; 26. ;
; 28. .

 


Найти производные указанных порядков для функций:

29. ? 30. ?
31. ? 32. ?

 

Найти дифференциалы функций:

33. ; 34. ;
35. ; 36. .

 

Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

37. ; Ответ: 1;
38. ; Ответ: ;
39. ; Ответ: ;
40. ; Ответ: 0;
41. ; Ответ: ;
42. ; Ответ: 0;
43. ; Ответ: ;
44. ; Ответ: ;
45. ; Ответ: 1;
46. ; Ответ: 1;
47. ; Ответ: 1.

 


* П.Ферма (1601−1665) – французский математик.

* М.Ролль (1652−1719) – французский математик.

* Ж.Лагранж (1736−1813) – французский математик.

* О.Коши (1789−1859) – французский математик.

* Г.Лопиталь (1661−1704) – французский математик.



2015-11-27 2829 Обсуждений (0)
Основные теоремы дифференциального исчисления 4.50 из 5.00 6 оценок









Обсуждение в статье: Основные теоремы дифференциального исчисления

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2829)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.009 сек.)