Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

ГЛАВА 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций, т.е. к характеристике поведения функции при изменении независимой переменной.

 

Возрастание и убывание функций

Согласно определению (п.1.12), функция возрастает (убывает) на интервале , если большему значению аргумента х из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции у.

Из определения следует, что для возрастающей функции приращение функции и приращение аргумента имеют одинаковые знаки, и следовательно, их отношение положительно, т.е.

.

Для убывающей функции и имеют противоположные знаки, в силу чего, отношение приращений отрицательно:

.

Если функция в интервале дифференцируема, то, переходя в неравенствах к пределу при , получим:

− для возрастающей в интервале функции

;

− для убывающей в интервале функции

.

Сформулируем необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

 

Теорема(необходимые условия).

Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то ее производная неотрицательна: (неположительна: ) для всех .

 

Геометрически эта теорема означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы ( ) с положительным направлением оси Ох (рис. 5.1), а касательные к графику убывающей функции − тупые углы ( ) (рис. 5.2).

 

Теорема(достаточные условия).

Если функция дифференцируема на интервале и ее производная положительна: (отрицательна: ) для всех , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

 

Рис. 5.1

 

 

 

Рис. 5.2

 

Таким образом, изучение вопроса об участках возрастания или убывания дифференцируемой функции сводится к исследованию знака первой производной этой функции.

 

Пример

Найти интервалы возрастания и убывания функции: .

Функция определена на всей числовой оси.

Имеем ; ; .

Следовательно, функция возрастает (« ↑ ») в интервале .

; .

Функция убывает (« ↓ ») в интервале .

 

Максимум и минимум функций

Особую роль в исследовании функций играют значения х, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания или наоборот.

 

Определение.

Точка называется точкой максимума (точкой минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

.

 

Значение функции в точке максимума (минимума) называют максимумом (минимумом) функции или экстремумом функции.

Из определения следует, что экстремум функции имеет локальный характер.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

 

Теорема(необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:

.

 

Геометрически условие означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох (рис. 5.3).

 

 

Рис. 5.3

Отметим, что обратная теорема неверна, т.е., если , еще не означает, что − точка экстремума. Например, для функции ее производная равна нулю при , но не точка экстремума (рис. 5.4). Кроме того, функция может иметь экстремум в точке, в которой производная не существует. Например, непрерывная функция производной в точке не имеет, но точка − точка минимума
(рис. 5.5.).

 

Рис. 5.4 Рис. 5.5

 

Из этого следует, что непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Для того, чтобы выяснить в каких критических точках функция имеет экстремум устанавливают достаточные условия экстремума.

 

Теорема(первое достаточное условие экстремума).

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то − точка минимума.

 

Графическая иллюстрация теоремы приведена на рис.5.6.

 

 

Рис. 5.6

 

Замечание.

Если производная не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума (рис.5.7).

 

 

Рис. 5.7

 

Отыскания экстремумов функции обычно проводят по следующей схеме:

1) найти производную ;

2) найти критические точки, в которых или не существует;

3) исследовать знак слева и справа от каждой критической точки и определить экстремум (максимум или минимум);

4) вычислить значения функции в точках экстремума.

 

Пример

Найти экстремумы функции: .

1) ;

2) ; ; ;

3)

 

 

для ; (« ↑ »);

для ; (« ↓ »);

для ; (« ↑ »);.

Значит, − точка максимума, − точка минимума;

4) ; .

 

Иногда, исследование знака первой производной слева и справа от критической точки вызывает затруднение. В этом случае такое исследование можно заменить определением знака второй производной в самой точке. На этом основано второе достаточное условие экстремума.

 

Теорема(второе достаточное условие экстремума)

Если в точке первая производная функции равна нулю: , а вторая производная в точке существует и отлична от нуля: , то при в точке функция имеет максимум и минимум − при .

 

Пример

Найти экстремумы функции: на отрезке .

1) ;

2) ; ; , ; ;

3) ;

4) ;

.

Значит, − точка минимума, − точка максимума.

5) ; .

Заметим, что второе достаточное условие экстремума имеет ограниченное применение по сравнению с первым, поскольку неприменимо к точкам, в которых производная не существует или .

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

В прикладных задачах часто требуется найти не экстремумы изучаемой величины, а ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, согласно теореме (§3.5), функция достигает своего наибольшего или наименьшего значений либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т.е. при =а или =b. Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции.

Укажем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка , т.е. и ;

4) среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее или наименьшее.

 

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

1) ;

; , , ;

2) , , ;

3) ; ;

4) , .