Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
Для уточнения поведения функции и формы графика функции рассмотрим вопросы, связанные с понятием направления выпуклости.
Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) любой касательной, проведенной к данному графику (рис.5.8).
Рис. 5.8
График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других − вогнутым. Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы.
Теорема. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную: , то график функции в этом интервале выпуклый. Если − график вогнутый.
Определение. Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис.5.9).
Рис. 5.9
Из определения следует, что при переходе через точку перегиба, меняется направление выпуклости кривой, следовательно, в этой точке меняет свой знак. Заметим, что может менять свой знак лишь в точках, где она равна нулю, или в точках, где не существует. Отсюда получаем необходимое и достаточное условия точки перегиба.
Теорема(необходимое условие существования точки перегиба) Если функция дважды дифференцируема на интервале и является точкой перегиба, то или не существует.
Теорема(достаточное условие существования точки перегиба) Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.
Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используют следующую схему: 1) найти ; 2) найти и ; 3) определить точки, в которых или не существует (в частности, ); 4) исследовать знак слева и справа от каждой такой точки; 5) указать координаты точек перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.
Пример Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции . 1) ; 2) , ; 3) , , , ;
для ; (« »); для ; (« »); для ; (« »);. 4) , . Точки перегиба имеют координаты и . Интервалы выпуклости: . Интервалы вогнутости: и .
Асимптоты графика функции Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты.
Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).
Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.
Рис. 5.10
Вертикальные асимптоты
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено одно из условий: или (рис.5.11)
Рис. 5.11
Вертикальные асимптоты, уравнение которых х=x0 , следует искать в точках, где функция терпит разрыв второго рода, или на концах ее области определения, если концы не равны . Если таких точек нет, то нет и вертикальных асимптот. Например, для кривой , вертикальной асимптотой будет прямая , так как , . Вертикальной асимптотой графика функции является прямая (ось Оу), поскольку .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1307)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |