ГЛАВА 2. Электростатическое поле в веществе

 

П.2.1 Поляризованность. Электрическое смещение. Граничные условия

 

2.24 Рассчитать поле внутри плоской пластины диэлектрика, помещённой в однородное электростатическое поле, напряжённостью E­₀.

Ответ: ; .

 

2.25 В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью ε смещение имеет значение D. Чему равна поляризованность Р в этой точке?

Ответ: .

 

2.26 Между обкладками плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 1,5 кВ, зажата парафиновая пластинка (ε = 2) толщиной 5 мм. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на парафине.

Ответ: мкКл/м².

 

2.27 Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм, разность потенциалов U = 1,2 кВ. Определить поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора и поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике, если известно, что его диэлектрическая восприимчивость æ = 1.

Ответ: мкКл/м²; мКл/м².

 

2.28 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином (ε = 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/ см²?

Ответ: кВ.

 

2.29 Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюдяной пластинке (ε = 7) толщиной 1 мм, служащей изолятором плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 300 В.

Ответ: мкКл/м².

 

2.30 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено маслом (ε = 5). Расстояние между пластинами - 1 см. Какую разность потенциалов надо подать на пластины этого конденсатора, чтобы поверхностная плотность связанных (поляризационных) зарядов была равна 6,2·10^–10 Кл/ см²?

Ответ: U = 1750 В.

 

2.31 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 6). Расстояние между пластинами - 4 мм. На пластины подано напряжение 1,2 кВ. Найти: 1) поле в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность связанного заряда на стекле; 4) диэлектрическую восприимчивость стекла.

Ответ: E = 0,3 МВ/м; мкКл/м²; æ = 5; мкКл/м².

 

2.32 В однородное электрическое поле с напряжённостью Е₀ = 100 В/м помещена бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного диэлектрика с проницаемостью ε = 2. Пластина расположена перпендикулярно к Е₀. Определить: 1) напряжённость поля Е и электрическое смещение D внутри пластины; 2) поляризованность диэлектрика Р; 3) поверхностную плотность связанных зарядов σ'.

Ответ: E = 50 В/м; D = 0,885 нКл/м²; P = 0,44 нКл/м²; нКл/м².

 

2.33 Пластину из эбонита (ε = 2,7) толщиной 2 мм и площадью S = 300 см² поместили в однородное электрическое поле напряжённостью Е₀ = 1 кВ/м, расположив так, что силовые линии перпендикулярны её плоской поверхности. Найти плотность связанных зарядов на поверхности пластин σ' и энергию электрического поля W, сосредоточенную в пластине.

Ответ: 5,56 нКл/м²; 98,2 пДж.

 

2.34 Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, приложена разность потенциалов 150 В. К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка фарфора толщиной 3 мм. Найти напряжённость электрического поля в воздухе и фарфоре (ε = 6).

Ответ: E₁ = 60 кВ/м; Е₂ = 10 кВ/м.

 

2.35 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика: стекла (ε = 7) толщиной 0,2 см и слоем парафина (ε = 2) толщиной 0,3 см. Разность потенциалов между обкладками конденсатора - 300 В. Определить напряжённость поля и падение потенциалов в каждом из слоёв.

Ответ: E₁ = 24 кВ/м; Е₂ = 84 кВ/м; U₁ = 48 B; U₂ = 252 B.

 

2.36 Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора за полнено воздухом и напряжённость поля в зазоре равна Е₀. Затем половину зазора (см. рис.) заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью ε. Найти модули векторов Е и D в обеих частях зазора (1 и 2), если при введении диэлектрика напряжение между обкладками не менялось.

Ответ: .

 

2.37 Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора за полнено воздухом и напряжённость поля в зазоре равна Е₀. Затем половину зазора (см. рис.) заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью ε. Найти модули векторов Е и D в обеих частях зазора (1 и 2), если при введении диэлектрика заряды на обкладках оставались неизменными.

Ответ: .

 

2.38 Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора за-полнено воздухом и напряжённость поля в зазоре равна Е₀. Затем половину зазора (см. рис.) заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью ε. Найти модули векторов Е и D в обеих частях зазора (1 и 2), если при введении диэлектрика напряжение между обклад-ками не менялось.

Ответ: .

2.39 Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора за-полнено воздухом и напряжённость поля в зазоре равна Е₀. Затем половину зазора (см. рис.) заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью ε. Найти модули векторов Е и D в обеих частях зазора (1 и 2), если при введении диэлектрика заряды на обкладках остались неизменными.

Ответ: .

 

2.40 В воде электрическое поле напряжённости Е = 1 кВ/см создаёт поляризацию, эквивалентную правильной ориентации только одной из N молекул. Найти N. Электрический момент молекулы воды p_е = 0,62·10^–29 Кл·м.

Ответ: N = 3·10³.

 

2.41 Во внешнем электрическом поле напряжённостью Е = 40 МВ/м поляризованность Р жидкого азота равна 109 мкКл/м². Определить диэлектрическую проницаемость ε жидкого азота и индуцированный электрический момент p_e одной молекулы. Плотность ρ жидкого азота - 804 кг/м³.

Ответ: ε = 1,31; p_e = 6,3·10^–33 Кл·м.

 

2.42 Стеклянная пластина с проницаемостью ε₂ = 6 внесена в однородное электрическое поле напряжённостью Е₁ = 10 В/м и расположена так, что угол α₁ между нормалью к пластине и направлением внешнего поля равен 30°. Найти напряженность Е₂ поля в пластине, угол α₂, а также плотность σ' связанных зарядов, возникших на поверхности пластины. Диэлектрическая проницаемость среды вне пластины ε₁ = 1.

Ответ: Е₂ = 5,2 В/м; α₂ = 740; σ' = 64 пКл/м².

 

2.43 1. Записать четыре граничных условия для электрического поля.

2. Сделать рисунок преломления линий векторов Е и D на границе двух диэлектриков (для объяснения граничных условий).

 

2.44 Диэлектрическая пластина шириной 2а с проницаемостью ε = 2 помещена в однородное электрическое поле напряженности E, линии которого перпендикулярны пластине. Изобразить на рисунке линии полей векторов Е и D. Построить качественно графики зависимости и .

 

2.45 Диэлектрическая пластина с проницаемостью ε = 2 помещена в однородное электрическое поле напряженности Е (см. рис.):

1) изобразить качественно линии полей векторов Е и D в вакууме и в пластинке;

2) построить качественно графики зави­симостей и , и .

 

2.46 Объяснить электростатическую защиту от внешнего электрического поля.

2.47 Объяснить экранирование внешнего пространства от внутренних электростатических полей.

 

2.48 Металлический шар радиусом R помещен в однородное электрическое поле. Изобразить качественную картину эквипотенциальных поверхностей и линий поля вектора E. Объяснить.

 

2.49 Длинная тонкая диэлектри-ческая палочка помещена в однородное электрическое поле. Изобразить качествен-ную картину линий поля вектора E и график зависи-мости .

 

2.50 В чем отличие двух явлений: поляризации и электростатической индукции? Сделать рисунок. Пояснить. В каких веществах они возникают?

 

П.2.2 Конденсаторы. Энергия конденсаторов. Закон Джоуля-Ленца

 

2.51 Определить расстояние между пластинами плоского конденсатора, если между ними приложена разность потенциалов U = 150 В, причём площадь каждой пластины S = 100 см², её заряд q = 10 нКл. Диэлектриком служит слюда (ε = 7).

Ответ: .

 

2.52 Определить ёмкость коаксиального кабеля длиной 10 м, если радиус его центральной жилы r₁ = 1 см, радиус оболочки r₂ = 1,5 см, а изоляционным материалом служит резина (ε = 2,5).

Ответ: .

 

2.53 Пластины плоского конденсатора изолированы друг от друга слоем диэлектрика. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 1 кВ и отключён от источника напряжения. Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если при его удалении разность потенциалов между пластинами конденсатора возрастает до 3 кВ.

Ответ: .

 

2.54 Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого 5 см, заряжен до 200 В и отключен от источника напряжения. Каким будет напряжение на конденсаторе, если его пластины раздвинуть до расстояния 10 см?

Ответ: .

 

2.55 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U = 100 В. Площадь каждой пластины S = 200 см², расстояние между пластинами d = 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафином (ε = 2). Определить силу притяжения пластин друг к другу.

Ответ: .

 

2.56 Определить напряжённость электростатического поля на расстоянии l = 2 см от центра воздушного сферического конденсатора, образованного двумя шарами (внутренний радиус r₁ = 1 см, внешний r₂ = 3 см), между которыми приложена разность потенциалов U = 1 кВ.

Ответ: кВ/м.

 

2.57 Разность потенциалов между точками А и В равна U = 9 В. Ёмкость конденсаторов равна С₁ = 3 мкФ и С₂ = 6 мкФ. Определить разность потенциалов U₁ и U₂ на обкладках каждого конденсатора.

Ответ: .

 

2.58 Ёмкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно соединёнными конденсаторами, С = 100 пФ, а заряд q = 20 нКл. Определить ёмкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора, если С₁ = 200 пФ.

Ответ: .

2.59 Определить ёмкость С батареи конденсаторов. Ёмкость каждого конденсатора Сi = 1мкФ.

Ответ: .

 

 

2.60 Маленький шарик подвешен на тонкой шёлковой нити в пространстве плоского воздушного конденсатора, круглые пластины которого расположены горизонтально. Шарик несёт заряд . Когда пластинам конденсатора сообщили заряд , натяжение нити увеличилось в 2 раза. Определить массу шарика. Радиус пластины конденсатора R = 10 см.

Ответ: .

 

2.61 Какое количество электричества пройдёт по проводам, соединяющим обкладки плоского конденсатора с зажимами аккумулятора при погружении конденсатора в керосин? Площадь пластины конденсатора S = 150 см², расстояние между пластинами d = 5 мм, ЭДС аккумулятора ε = 9,42 В, диэлектрическая проницаемость керосина ε = 2.

Ответ: .

 

2.62 Во сколько раз изменится ёмкость плоского конденсатора, если в него ввести две тонкие металлические пластины? Если соединить их между собой проводом?

Ответ: а) не изменится; б) увеличится в 1,5 раза.

 

2.63 Два проводящих шара, радиусы которых R₁ = 10 см и R₂ = 5 см, заряженные до потенциалов φ₁ = 20 В и φ₂ = 10 В, соединяются тонким проводником. Найти поверхностные плотности σ₁ и σ₂ электрических зарядов шаров после их соединения. Расстояние между шарами велико по сравнению с их радиусами.

Ответ: σ ₁ = 1,475 нКл/м², σ ₂ = 2,95 нКл/м².

 

2.64 Определить общую ёмкость С трёх плоских воздушных конденсаторов, соединённых параллельно. Геометрические размеры конденсаторов одинаковы (S = 314 см², d = 1 мм). Как изменится их ёмкость при заполнении одного слюдой (ε₁ = 7), а другого – парафином (ε₂ = 2).

Ответ: С₁ = 834 пФ, С₂ = 2779 пФ.

 

2.65 В заряженном плоском конденсаторе, отсоединённом от источника, напряжённость электрического поля равна Е₀. Половину пространства между пластинами конденсатора заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Чему стала равна напряжённость Е поля в пространстве между пластинами без диэлектрика?

Ответ: Е = .

 

2.66 Между обкладками заряженного конденсатора плотно вдвигается пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Найти отношение плотностей связанных зарядов на поверхности диэлектрика, если конденсатор отключён от источника тока.

Ответ: .

 

2.67 Конденсатор подключен к источнику тока (U = const). Между его обкладками вдвигается пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε . Найти отношение плотностей связанных зарядов на поверхности диэлектрика.

Ответ: .

 

2.68 Определить электрическую ёмкость плоского конденсатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора (ε₁ = 5) толщиной d₁ = 2 мм и эбонита (ε₂ = 3) толщиной d₂ = 1,5 мм, если площадь пластин S = 100 см².

Ответ: С = 98,3 пФ.

 

2.69 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло стало равным 1 Па. Определить поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора и электрическое смещение.

Ответ: σ = D = 11,1 мкКл/м².

 

2.70 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло стало равным 1 Па. Определить напряжённость поля в стекле и объёмную плотность энергии поля в стекле.

Ответ: Е = 179 кВ/м; w ≈ 1 Дж/м³.

 

2.71 К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U₁ = 500 В. Площадь пластин S = 200 см², расстояние между ними d₁ = 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния d₂ = 15 мм. Найти энергию W₁ и W₂ конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением отключён.

Ответ: W₁ = 14,8 мкДж; W₂ = 148 мкДж.

 

2.72 К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U₁ = 500 В. Площадь пластин S = 200 см², расстояние между ними d₁ = 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния d₂ = 15 мм. Найти энергию W₁ и W₂ конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением не отключался.

Ответ: W₁ = 14,8 мкДж; W₂ = 1,48 мкДж.

 

2.73 В однородное электростатическое поле напряжённостью Е₀ = 700 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пластинку (ε = 7) толщиной d = 1,5 мм и площадью S = 200 см². Определить поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.

Ответ: σ_св = 5,31 нКл/м².

 

2.74 В однородное электростатическое поле напряжённостью Е₀ = 700 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пластинку (ε = 7) толщиной d = 1,5 мм и площадью S = 200 см². Определить энергию поля в пластинке.

Ответ: W = 9,3 пДж.

 

2.75 Шар, погружённый в масло (ε = 2,2), имеет поверхностную плотность заряда σ = 1 мкКл/м² и потенциал φ = 500 В. Определить энергию шара.

Ответ: W = 0,3 мкДж.

 

2.76 Плоский конденсатор с расстоянием между пластинами d = 1 см заряжен до разности потенциалов U = 1 кВ. Определить объёмную плотность энергии поля конденсатора. Диэлектрик – стекло (ε = 7).

Ответ: w = 0,309 Дж/м³.

 

2.77 Лейденская банка ёмкостью 3,3·10^–9 Ф заряжена до разности потенциалов 20 кВ. При разряде банки 10 % её энергии рассеивается в виде звуковых и электромагнитных волн. Определить количество выделившейся теплоты.

Ответ: Q = 0,6 Дж.

 

2.78 Металлический шар радиусом 3 см имеет заряд 2·10^–8 Кл. Шар погружён в керосин (ε = 2) так, что не касается стенок сосуда. Определить объёмную плотность энергии поля в точках, отстоящих от центра шара на расстоянии 2 и 4 см.

Ответ: при r₁ < R: w₁ = 0; при r₂ > R: w₂ = 0,028 Дж/м³.

 

2.79 Определить количество электрической энергии, перешедшей в тепло при соединении конденсаторов С₁ = 2 мкФ и С₂ = 0,5 мкФ, заряженных до напряжений U₁ = 100 B и U₂ = 50 B соответственно, одноимённо заряженными обкладками.

Ответ: Q = 5∙10^–4 Дж

 

2.80 Какой заряд сообщён шару, если шар заряжен до потенциала φ = 100 В? Электрическая энергия, запасенная шаром, W = 2,02 Дж.

Ответ: q = 4∙10^–4 Кл

 

2.81 Определить, какое количество теплоты выделится при заземлении заряженного до потенциала φ = 3 кВ шара радиусом R = 5 см.

Ответ: Q = 2,5∙10^–5 Дж