Квадратурная формула Гаусса
Рассмотрим полином Лежандра: ,
Свойства полинома Лежандра: 1. 2. -многочлен степени 3. Полином Лежандра имеет ровно различных действительных корней на отрезке [-1;1]. Рассмотрим функцию на интервале [-1;1]. Идея формулы Гаусса: найти точки и коэффициенты ( ) , чтобы квадратурная формула была точна для полиномов наивысшей возможной степени . Т.к. постоянных имеется , то наивысшая возможная степень полинома - .
Система нелинейная, её решение трудное и поэтому применяется искусственный приём для и . Рассмотрим полином: , , где -полином Лежандра. Общая степень будет справедлива формула: (по свойству ортогональности). Это равенство справедливо для любых , если . В качестве нужно взять нули полинома Лежандра. Вернёмся к изначальной системе. Теперь она линейная, т.к. - это нули. Система имеет определитель Вандермонда; при определитель Вандермонда коэффициенты определяются неоднозначно. Формула Гаусса для произвольного интервала:
Погрешность: , для интервала [a;b]. Точность квадратурной формулы при фиксированном числе узлов существенно зависит от расположения этих узлов.
Ручной счет
Формула Чебышева
Формула Гаусса
Matlab function f1=f_1(x); f1=(3*x-1)/(x^2+3.4); // задаем функцию f_1=f1; return
function Int = Chebushev(a,b,n,T) sum=0; for i=1:n sum=sum+f_1(((b+a)/2)+((b-a)/2)*T(n,i)); // вычисление по формуле end; Int=((b-a)/n)*sum;
Результат: T=[0 0 0 0 0 0 0; -0.57753 0.57753 0 0 0 0 0; -0.707107 0 0.707107 0 0 0 0; -0.794654 -0.187592 0.187592 0.794654 0 0 0; -0.832498 -0.374541 0 0.374541 0.832498 0 0; -0.866247 -0.422519 -0.266635 0.266635 0.422519 0.866247 0; -0.883826 -0.529657 -0.323912 0 0.323912 0.529657 0.883826]; >> Chebushev(1,3.3,6,T) ans = 1.4609 >> fplot('f_1(x)',[1,3.3]); // рисуем график >> grid on;
function Int=Gauss_Integr(a,b,n,T,A) sum=0; for i=1:n sum=sum+A(n,i)*(f_1(((b+a)/2)+((b-a)/2)*T(n,i))); // вычисление по формуле end; Int=((b-a)/2)*sum;
Результат: T=[0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; -0.774597 0 0.774597 0 0; -0.861136 -0.339981 0.339981 0.861136 0; -0.906180 -0.538469 0 0.538469 0.906180]; >> A=[2 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 5/9 8/9 5/9 0 0; 0.347855 0.652145 0.652145 0.347855 0; 0.236927 0.478629 0.568889 0.478629 0.236927]; >> Gauss_Integr(1,3.3,5,T,A) ans =
Используя формулу Чебышева для n=5 , получили такой результат:
Сравнивая со значением, полученным с помощью встроенной функции, имеем погрешность: ∆=0.00472315 Используя формулу Чебышева для n=5 , получили такой результат:
Сравнивая со значением, полученным с помощью встроенной функции, имеем погрешность: ∆=0.00472315
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (995)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |