Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Квадратурная формула Гаусса



2015-12-04 995 Обсуждений (0)
Квадратурная формула Гаусса 0.00 из 5.00 0 оценок




Рассмотрим полином Лежандра:

,

 

Свойства полинома Лежандра:

1.

2. -многочлен степени

3. Полином Лежандра имеет ровно различных действительных корней на отрезке [-1;1].

Рассмотрим функцию на интервале [-1;1].

Идея формулы Гаусса:

найти точки и коэффициенты ( ) , чтобы квадратурная формула была точна для полиномов наивысшей возможной степени . Т.к. постоянных имеется , то наивысшая возможная степень полинома - .

Система нелинейная, её решение трудное и поэтому применяется искусственный приём для и .

Рассмотрим полином: , , где -полином Лежандра. Общая степень будет справедлива формула: (по свойству ортогональности). Это равенство справедливо для любых , если . В качестве нужно взять нули полинома Лежандра.

Вернёмся к изначальной системе. Теперь она линейная, т.к. - это нули.

Система имеет определитель Вандермонда; при определитель Вандермонда коэффициенты определяются неоднозначно.

Формула Гаусса для произвольного интервала:

n i
1;3 5/9 8/9
1;4 2;3
1;5 2;4

Погрешность: , для интервала [a;b].

Точность квадратурной формулы при фиксированном числе узлов существенно зависит от расположения этих узлов.

 

Ручной счет

 

 

 

Формула Чебышева

 

k
-0.707107 1.336827 0.580378
2.15 0.679339
0.707107 2.963173 0.647723

 

 

Формула Гаусса

 

k
-0.707107 1.342827 0.622378 5/9
2.15 0.679339 8/9
0.707107 3.061173 0.647723 5/9

 

 
 
Сравниваем со значением функции
 

 

 

 
 
Сравниваем со значением функции
 
Сравниваем со значением функции

Нули полинома Лежандра:
Матрица коэффициентов:

 

 

 

Сравниваем со значением функции
Погрешность:

 

 

Matlab

function f1=f_1(x);

f1=(3*x-1)/(x^2+3.4); // задаем функцию

f_1=f1;

return

 

function Int = Chebushev(a,b,n,T)

sum=0;

for i=1:n

sum=sum+f_1(((b+a)/2)+((b-a)/2)*T(n,i)); // вычисление по формуле

end;

Int=((b-a)/n)*sum;

 

Результат:

T=[0 0 0 0 0 0 0;

-0.57753 0.57753 0 0 0 0 0;

-0.707107 0 0.707107 0 0 0 0;

-0.794654 -0.187592 0.187592 0.794654 0 0 0;

-0.832498 -0.374541 0 0.374541 0.832498 0 0;

-0.866247 -0.422519 -0.266635 0.266635 0.422519 0.866247 0;

-0.883826 -0.529657 -0.323912 0 0.323912 0.529657 0.883826];

>> Chebushev(1,3.3,6,T)

ans =

1.4609

>> fplot('f_1(x)',[1,3.3]); // рисуем график

>> grid on;

 

 

function Int=Gauss_Integr(a,b,n,T,A)

sum=0;

for i=1:n

sum=sum+A(n,i)*(f_1(((b+a)/2)+((b-a)/2)*T(n,i))); // вычисление по формуле

end;

Int=((b-a)/2)*sum;

 

Результат:

T=[0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

-0.774597 0 0.774597 0 0;

-0.861136 -0.339981 0.339981 0.861136 0;

-0.906180 -0.538469 0 0.538469 0.906180];

>> A=[2 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

5/9 8/9 5/9 0 0;

0.347855 0.652145 0.652145 0.347855 0;

0.236927 0.478629 0.568889 0.478629 0.236927];

>> Gauss_Integr(1,3.3,5,T,A)

ans =

 

 

Прикладная задача Численное интегрирование является основным методом, используемым инженерами и научными работниками для получения приближенного ответа при вычислении определенных интегралов, которые нельзя вычислить аналитически. В области статической термодинамики модель Дебье для вычисления теплоемкости твердого тела содержит следующую функцию:
Так как это не аналитическое выражение для F(x), для получения приближенного значения следует использовать численное интегрирование. Например, значение F(5) равно площади под кривой y=f(t)= /( ) для . Численное приближение для F(5) имеет вид:
 

 


 

Используя формулу Чебышева для n=5 , получили такой результат:

 

 

I:=4.895169

 

 

Сравнивая со значением, полученным с помощью встроенной функции, имеем погрешность:

∆=0.00472315

Используя формулу Чебышева для n=5 , получили такой результат:

 

 

I:=4.895169

 

 

Сравнивая со значением, полученным с помощью встроенной функции, имеем погрешность:

∆=0.00472315



2015-12-04 995 Обсуждений (0)
Квадратурная формула Гаусса 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Квадратурная формула Гаусса

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (995)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.009 сек.)