Законы Кеплера и элементы орбиты

В теории невозмущенного движения ИСЗ полагают, что спутник вращается вокруг сферической Земли с абсолютно равномерным распределением масс в ее теле, и сила притяжения между Землей и спутником является единственной причиной его орбитального движения. Всю массу Земли при этом можно считать сосредоточенной в центре масс и рассматривать движение спутника в гравитационном поле, создаваемом центром масс Земли. Спутник при этом рассматривают как материальную точку с единичной массой.

В этом случае движение ИСЗ по орбите описывается законами Кеплера, которые сформулируем применительно к движению спутников Земли.

Первый закон Кеплера. Спутник движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр масс Земли.

Второй закон Кеплера.Радиус-вектор спутника за равные промежутки времени описывает («заметает») равные площади.

Третий закон Кеплера.Квадраты периодов обращения любых двух спутников относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Пусть точка М является фокусом, в котором находится центр масс Земли (рисунок 2). Точка П орбитального эллипса, ближайшая к фокусу М, называется перицентром.

Рисунок 2 — Орбитальный эллипс.

Точка А, наиболее удаленная от фокуса М называется апоцентром. Линия, соединяющая точки А и П, называется линией апсид, а сами точки А и П — апсидами.

Введем орбитальную систему координат X_w , Y_w , Z_w = 0, начало которой находится в точке М (центре масс), положительное направление оси X_w совпадает с направлением в перицентр.

Полярными координатами в орбитальной системе координат являются радиус-вектор и истинная аномалия q. Радиус-вектор проводится из начала координат (точка М) до точки i орбиты, где находится ИСЗ в момент t_i. Истинная аномалия q — это угол, отсчитываемый от оси X_w до радиус-вектора.

Уравнение эллипса в полярных координатах:

, (1.16)

где a – большая полуось орбиты; – эксцентриситет орбиты (эллипса);

– фокальный параметр.

Эксцентриситет является характеристикой вытянутости (сплюснутости) орбиты и равен:

, (1.17)

где a – расстояние между центром и фокусом эллипса; b – малая полуось эллипса.

Наряду с истинной аномалией q при описании движения спутников, планет и звезд используют эксцентрическую аномалию Е. Проведем из центра C эллипса окружность с радиусом, равным большой полуоси a эллипса. Из точки i орбиты опустим перпендикуляр на линию апсид и продолжим его до пересечения с проведенной окружностью в точке . Соединив точку с точкой C, получим угол Е между направлением в перицентр и направлением на точку . Если взять эксцентрическую аномалию Е в качестве аргумента, то уравнение эллипса будет иметь вид:

. (1.18)

Следствием второго закона Кеплера является неравномерность движения спутника по орбите. Максимального значения орбитальная скорость достигает в перицентре, а минимального — в апоцентре.

Следствием третьего закона Кеплера является формула для периода обращения ИСЗ:

(1.19)

где m_Å — геоцентрическая гравитационная постоянная,

G = 6,67259·10^–11 Н·м²·кг^–2 — постоянная всемирного тяготения;

М_Å = 5,976·10²⁴ кг — масса Земли.

Величина m_Å является одной из фундаментальных геофизических констант.

Ориентацию орбитальной плоскости в пространстве будем определять с помощью эйлеровых углов J, W, и w.

Наклонение орбиты J – угол между орбитальной плоскостью и плоскостью экватора. Угол J изменяется от 0° (ИСЗ движется по экватору с запада на восток) до 180° (ИСЗ движется в противоположном направлении).

Долгота восходящего узла W – угол между направлением от центра масс Земли на точку весеннего равноденствия и линией узлов (линией пересечения плоскости орбиты и плоскости экватора).

Угол w – аргумент перицентра – измеряется от положительного направления линии узлов OW до линии апсид OP (рисунок 3).

Углы J, W, w называются эйлеровыми углами, определяющими ориентацию орбитальной системы координат относительно геоцентрической системы координат.

Часто вводят также угол U:

U = w + q, (1.20)

который называют аргументом широты.

Рассмотрим рисунок 3. Здесь обозначены:

Oxyz– геоцентрическая инерциальная система координат;

OXYZ– гринвичская геоцентрическая система координат, которая вращается вместе с Землей вокруг оси OZ, делая один оборот за одни звездные сутки;

S_i– звездное время в Гринвиче, равное углу между осями Ox и OX в момент t_i;

точка W – восходящий узел орбиты ИСЗ, который является точкой пересечения экватора и орбиты при движении ИСЗ из южного полушария в северное;

OW – положительное направление линии узлов, по которой пересекаются плоскость орбиты и плоскость земного экватора;

i – положение ИСЗ на орбите в момент фотографирования t_i;

– геоцентрический радиус-вектор ИСЗ в момент фотографирования t_i;

a_iи d_i – геоцентрические прямое восхождение и склонение ИСЗ;

Угол W – долгота восходящего узла; угол между направлением оси Ox в точку весеннего равноденствия g и положительным направлением линии узлов OW;

Угол J – угол наклона (наклонение) плоскости орбиты к плоскости экватора;

Точка P_i – перицентр орбиты, точка орбиты, наиболее близко расположенная к центру масс Земли (фокусу орбитального эллипса);

Угол w – аргумент перицентра, отсчитываемый в плоскости орбиты от положительного направления линии узлов OW до направления OP в перицентр.

Рисунок 3 — Орбита ИСЗ в гринвичской системе координат

Инерциальные геоцентрические координаты спутника выражаются через радиус-вектор r и эйлеровы углы следующими формулами:

(1.21)