Центробежный момент инерции

Если m = 1, n = 1, тогда получим характеристику

которая называется центробежным моментом инерции.

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Если хотя бы одна из осей y или z является осью симметрии сечения, центробежный момент инерции такого сечения относительно этих осей равен нулю (так как в этом случае каждой положительной величине z·y·dA можем поставить в соответствие точно такую же, но отрицательную, по другую сторону от оси симметрии сечения, см. рисунок).

Рассмотрим дополнительные геометрические характеристики, которые могут быть получены из перечисленных основных и также часто используются в расчетах на прочность и жесткость.

 

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции J_p называют характеристику

С другой стороны,

Полярный момент инерции (относительно данной точки) – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Размерность моментов инерции – м⁴ в СИ.

 

 

Момент сопротивления

Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (y_max или z_max) до наиболее удаленной от этой оси точки

Размерность моментов сопротивления – м³ в СИ.

 

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

Радиусы инерции выражаются в м в системе СИ.

 

Замечание: сечения элементов современных конструкций часто представляют собой некоторую композицию из материалов с разным сопротивлением упругим деформациям, характеризуемым, как известно из курса физики, модулем Юнга E. В самом общем случае неоднородного сечения модуль Юнга является непрерывной функцией координат точек сечения, т. е. E = E(z, y). Поэтому жесткость неоднородного по упругим свойствам сечения характеризуется более сложными, чем геометрические характеристики однородного сечения, характеристиками, а именно упруго-геометрическими вида

 

2.2. Вычисление геометрических характеристик простых фигур

 

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z. Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихован) равна dA = b · dy. Подставляя значение dA в первую формулу, получим

По аналогии запишем осевой момент относительно оси у:

Осевые моменты сопротивления прямоугольника:

;

Подобным образом можно получить геометрические характеристики и для других простых фигур.

 

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции J_p.

Затем, учитывая, что для круга J_z = J_y, а J_p= J_z + J_y, найдем J_z = J_y = J_p / 2.

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ и радиусом ρ; площадь такого кольца dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ . Подставляя выражение для dA в выражение для J_p и интегрируя, получим

тогда

 

2.3. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осей

 

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z и y:

Требуется определить моменты инерции этого сечения относительно «новых» осей z₁ и y₁, параллельных центральным и отстоящих от них на расстояние a и b соответственно:

Координаты любой точки в «новой» системе координат z₁0₁y₁ можно выразить через координаты в «старых» осях z и y так:

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

Так как оси z и y – центральные, то статический момент S_z = 0.

Окончательно можем записать формулы «перехода» при параллельном переносе осей:

Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять с учетом их знака (в системе координат z₁0₁y₁).

 

2.4. Вычисление моментов инерции при повороте координатных осей

 

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z, y:

; ;

Повернем оси z, y на угол α против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.

Требуется определить моменты инерции относительно «новых» (повернутых) осей z₁ и y₁:

Координаты элементарной площадки dA в «новой» системе координат z₁0y₁ можно выразить через координаты в «старых» осях так:

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

 

Проделав аналогичные преобразования с остальными выражениями, запишем окончательно формулы «перехода» при повороте координатных осей:

Отметим, что если сложить два первых уравнения, то получим

т. е. полярный момент инерции есть величина инвариантная (другими словами, неизменная при повороте координатных осей).

 

2.5. Главные оси и главные моменты инерции

 

До сих пор рассматривались геометрические характеристики сечений в произвольной системе координат, однако наибольший практический интерес представляет система координат, в которой сечение описывается наименьшим количеством геометрических характеристик. Такая «особая» система координат задается положением главных осей сечения. Введем понятия: главные оси и главные моменты инерции.

Главные оси– две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции принимают экстремальные значения (максимум и минимум).

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Главные центральные оси принято обозначать буквами u и v; главные моменты инерции – J_u и J_v (по определению J_uv = 0).

Выведем выражения, позволяющие находить положение главных осей и величину главных моментов инерции. Зная, что J_uv = 0, воспользуемся уравнением (2.3):

отсюда

Угол α₀ определяет положение главных осей относительно любых центральных осей z и y. Угол α₀ откладывается между осью z и осью u и считается положительным в направлении против часовой стрелки.

Заметим, что если сечение имеет ось симметрии, то, в соответствии со свойством центробежного момента инерции (см. разд.2.1, п.4), такая ось всегда будет главной осью сечения.

Исключая угол α в выражениях (2.1) и (2.2) с помощью (2.4), получим формулы для определения главных осевых моментов инерции:

Запишем правило: ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (z или y), относительно которой момент инерции имеет большее значение.

2.6. Рациональные формы поперечных сечений

 

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при прямом изгибе определяются по формуле:

, (2.5)

где М – изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении; у – расстояние от рассматриваемой точки до главной центральной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента; J_x – главный центральный момент инерции сечения.

Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения в данном поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Их определяют по формулам:

; ,

где у₁ и у₂ – расстояния от главной центральной оси Х до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.

Для балок из пластичных материалов, когда [σ_p] = [σ_c] ([σ_p], [σ_c] – допускаемые напряжения для материала балки соответственно на растяжение и сжатие), применяют сечения, симметричные относительно центральной оси. В этом случае условие прочности имеет вид:

≤ [σ], (2.6)

где W_x = J_x / y_max – момент сопротивления площади поперечного сечения балки относительно главной центральной оси; y_max = h / 2 ( h – высота сечения); М_max – наибольший по абсолютному значению изгибающий момент; [σ] – допускаемое напряжение материала на изгиб.

Кроме условия прочности балка должна удовлетворять и условию экономичности. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала (или при наименьшей площади поперечного сечения) получается наибольшая величина момента сопротивления. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, по возможности, распределять сечение подальше от главной центральной оси.

Например, двутавровая стандартная балка примерно в семь раз прочнее и в тридцать раз жестче, чем балка квадратного поперечного сечения той же площади сделанного из того же материала.

Необходимо иметь в виду, что при изменении положения сечения по отношению к действующей нагрузке прочность балки существенно изменяется, хотя площадь сечения остается неизменной. Следовательно, сечение надо располагать так, чтобы силовая линия совпадала с той из главных осей, относительно которых момент инерции минимален. Следует стремится, чтобы изгиб бруса проходил в плоскости его наибольшей жесткости.