Уравнения состояния ЭС

Основные формы уравнений состояния ЭЭС: обобщенное уравнение состояния, уравнения узловых напряжений, контурные уравнения подробно описаны в [1].

В качестве примера линейных математических моделей рассмотрим наиболее широко используемые на практике формы уравнений состояния - обобщенное уравнение состояния и уравнение узловых напряжений в матричной форме или в виде системы уравнений, которые описывают нормальный режим работы ЭЭС.

Обобщенное уравнение состояния в матричной форме имеет вид:

, (2.1)

где - объединенная матрица коэффициентов, которая включает в себя две матрицы , и имеет следующую структуру:

- матрица инцидениций 1-го рода, предназначена для описания структурных связей узлов и ветвей в расчетной схеме. ( - количество узлов, - количество ветвей);

Структура:

Правило формирования: каждый элемент матрицы , располагается на пересечении строки (номер узла) и столбца (номер строки), его значение определяется следующим образом:

-1, если ветвь входит в узел

= 1, если ветвь выходит из узла

0, если ветвь не соединена с узлом .

-произведение двух матриц:

- структурная матрица инциденций второго рода, отражающая связь ветвей в независимые контуры .

Структура:

Правило формирования:

-1, если направление ветки

противоположно направлению обхода контура

1, если направление ветки совпадает с

направлением обхода контура

0, если ветвь не входит в контур

- матрица сопротивлений ветвей.

- объединенная матрица свободных членов, включающая в себя:

- вектор задающих токов; - вектор ЭДС контуров.

При использовании обобщенного уравнения состояния расчет установившегося режима ЭЭС производится в следующем порядке: вначале определяются токи в ветвях схемы , а затем рассчитываются падения напряжения в ветвях , напряжения в узлах , потоки активной и реактивной мощностей и т.д. Пример расчета приведен ниже при описании реализации в среде Mathcad.

Общий вид уравнения узловых напряжений [1,2]:

, (2.2)

где - матрица узловых проводимостей;

- матрица проводимостей ветвей, обратная матрице сопротивлений ветвей ;

- матрица узловых напряжений;

- базисное напряжение балансирующего узла.

Для большинства реальных схем замещения нагрузка и генерация мощности моделируются с помощью задающих токов , поэтому ЭДС в ветвях отсутствует. Тогда (при ) уравнение узловых напряжений имеет вид:

, (2.3)

Матрица узловых проводимостей рассчитывается по формуле:

, (2.4)

где

- транспонированная матрица инциденций первого рода;

— матрица узловых проводимостей.

Структура определяется физическим смыслом ее элементов:

· на главной диагонали расположены собственные проводимости узлов , равные сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом ;

· симметрично относительно главной диагонали расположены взаимные проводимости (со знаком минус), которые равны проводимости ветви, находящейся между узлами и , или нулю при отсутствии связи между узлами.

Матрица является симметричной и слабо заполненной, т.е. содержит большое число нулевых элементов. Эти свойства позволяют реализовать на ЭВМ эффективные алгоритмы расчета режимов с учетом слабой заполненности массивов.

Использование уравнений узловых напряжений приводит к следующему порядку расчета режима ЭС: в начале определяются значения напряжений в узлах схемы , затем рассчитываются токи и падения напряжения в ветвях схемы, потоки активной и реактивной мощности , потери мощности в электрической сети и т.д.