Принцип наименьшего действия
Принцип наименьшего действияявляется основным, как в механике, так и в теории поля. Смысл его состоит в том, что реально осуществляемое движение или распределение поля отличается от всех других -физически нереализуемых, невозможных, тем, что сообщает экстремум некоторому положительнозначному функционалу, который называется действием. Этот принцип имеет многочисленные проявления. Например, луч света в однородном пространстве распространяется по прямой. Известно, что прямая - это как раз та линия между двумя точками, движение по которой осуществляется за наименьшее время (при постоянной скорости) в силу ее наименьшей длины среди всех иных линий, эти точки соединяющих. Этот простой физический принцип имеет интересные и нетривиальные проявления в теории поля, и мы рассмотрим его более подробно. Пусть имеется система из N материальных точек, каждая из которых обладает массой mi и характеризуется положением в пространстве, задаваемым тремя координатами , зависящими от времени t. Индекс i нумерует рассматриваемые материальные точки. Как известно, кинетическая энергиятакой системы определится выражением: . Здесь - представляют собой компоненты скорости в направлении осей OX, OY,OZ соответственно. Если движение системы осуществляется в интервале времени , под влиянием потенциального, для простоты, стационарного поля с потенциалом , то определим функцию Лагранжа L следующим образом: ,а действиемназовем величину: . (4.1) Покажем теперь, что экстремали функционала (1), т.е. те уравнения для , для которых функционал (1) приобретает экстремальное значение, описывают реальные траектории движения или, что то же самое, удовлетворяют динамическим уравнениям движения. Эти рассуждения близки к приведенным в приложении 2.6. Проведем их, в общем, чем для приведенного выше выражения, случае. Пусть экстремаль для (1) существует и есть , i=1,….N. Выберем для определенности функцию и рассмотрим её вариацию , где α-некоторое число, - гладкая функция, обращающаяся в ноль на концах интервала . Последнее условие необходимо для того, чтобы варьируемая траектория при всех вариациях начиналась и заканчивалась в заданных точках. Поскольку есть экстремали, то действие: как функция параметра , должна иметь экстремум при значении . Следовательно: Считаем, что функция Лагранжа L содержит в качестве своих аргументов t, и . Тогда из условия: получаем: Далее: Первый член последнего выражения тождественно равен нулю в силу наложенных на функцию условий. Тогда получаем:
. Поскольку это требование должно быть выполнено для любой функции , получаем следующее уравнение:
. (4.2а) Повторяя приведенные рассуждения для функций и получим ещё два уравнения:
. (4.2б) . (4.2в) Система уравнений (2) называется системой уравнений Эйлерадля вариационной задачи: . Подставив в полученные уравнения Эйлера принятую для системы функцию Лагранжа и учитывая равенства: получим: (4.3)
Но, поскольку производная от потенциала – это минус соответствующая компоненте напряженности поля, получим, что последняя система уравнений – это в точности система уравнений Ньютона (второй закон Ньютона) для динамики системы точек. Таким образом, получено обоснование принципа наименьшего действия: Величина имеет смысл компоненты в направлении оси ОХ силы, действующей на i-ую частицу, а - проекция на ось ОХ импульсаi-ой частицы: . Тогда уравнение Эйлера дает следующий результат: (4.4а) Аналогично можно записать для компонент в направлении осей OY и OZ: (4б) (4С) Координаты и импульсы частицы с номером i будем обозначать xi и pi соответственно. Причем , Полный набор всех координат и импульсов будем обозначать одной буквой без индексов: x,pсоответственно. Уравнение Эйлера, равно как и сама функция Лагранжа, записаны в переменных: координаты – xi, скорости - . Импульсыpi определены уравнениями (4). Уравнения: можно разрешить относительно скорости , если матрица Гесса: , неособенная для каждого j = 1, 2, 3. Последнее означает, что её определитель не равен нулю. В этом случае скорости можно выразить через координаты и импульсы так, что Определим функцию Гамильтонаследующим образом: Здесь в функции Лагранжа также скорости выражены через импульсы. Вычислим вариацию функции Гамильтона. Но
, и .
В результате последний и первый член сокращаются. Тогда получаем: , откуда следует[46] . (4.5) Система уравнений (5) представляет собой эквивалент уравнений движения Эйлера, но выраженных через функциюГамильтона. Эти уравнения называются гамильтоновой формой уравнений движения. Функция Лагранжа представляет собой разность между кинетической и потенциальной энергиями: . Поставляя в выражение для функции Гамильтона конкретные значения, входящих в нее компонент, и учитывая, что: получим . Таким образом, функция Гамильтона представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий – полную энергию системы. Переход от лагранжевой к гамильтоновой форме требует неособенности матрицы Гессе: . Это условие может быть, вообще говоря, и не выполнено. Таким образом, указанный переход возможен не всегда. Свойства системы и законы её развития не меняются, если переместить её как целое в другую точку пространства. Это значит, что функция Лагранжа не меняется при преобразованиях координат типа сдвига: , и вариация лагранжевой функции при вариации координат равна нулю:
. Поскольку , и это произвольный вектор, то: . Учитывая уравнение Эйлера, получим: . Но последнее выражение представляет собой закон сохранения импульса: Таким образом, из однородности пространства следует сохранение во времени импульса системы. Это утверждение можно обратить, сказав, что импульс – это то, закон сохранения для чего вытекает из однородности пространства. Предположим, что лагранжева функция не зависит явно от времени. Тогда , т.е. время однородно. Полная производная по времени от лагранжевой функции равно: . Принимая во внимание уравнения Эйлера: , последнее равенство можно переписать: .
Окончательно , Или . Таким образом, однородность по времени влечет за собой закон сохранения полной энергии системы. Это утверждение можно также обратить, приняв, что энергия системы – это то, закон сохранениячего вытекает из однородности времени. Приведенный способ описания движения через стационарное значение действия можно распространить на описание физических полей. При этом возникают особенности. Переход от системы из N материальных точек к непрерывно распределенному в пространстве физическому полю означает замену конечномерного случая бесконечномерным. Для вычисления энергетических характеристик поля в заданной пространственно-временной области в таком случае следует осуществлять интегрирование по этой области. Тогда то, что оказывается под знаком интеграла, естественно назвать не функцией Лагранжа, а лагранжевой плотностью. Проиллюстрируем это примерами: Пусть скалярное стационарное поле , распределено в пространстве таким образом, что для любой области действие: (4.6) стационарно. Лагранжевой плотностьюявляется функция , а сформулированный принцип наименьшего действия можно записать: Действительно, рассмотрим вариацию поля , где - некоторой числовой параметр, а - гладкая функция, обращающаяся в ноль на границе области . Стационарность действия при реальном распределении поля означает, что: . Тогда получаем: , где . Далее, поскольку: , получим: Здесь - компонента в направлении нормали к поверхности , ограничивающей область , вектора . Поскольку равно нулю на границе области , то первый член в правой части последнего равенства равен нулю, а поскольку область была произвольной, то стационарность действия означает равенство нулю подынтегрального выражения во втором члене правой части. Тогда получаем, что стационарность действия (6) означает, что рассматриваемое поле удовлетворяет уравнению: . (4.7) Но (7) – это в точности уравнение Лапласа. Таким образом, поле, удовлетворяющее уравнению Лапласа, соответствует принципу наименьшего действия, где действие имеет вид (6). Рассмотрим теперь нестационарное поле , где , и потребуем стационарности действия: (4.8) Здесь - четырехмерная область в пространственно-временном многообразии. Лагранжевой плотностьюявляется функция: Повторяя приведенные выше рассуждения, легко получить, что стационарность так построенного действия эквивалентна выполнению для поля уравнения: (4.9) Это известное в математической физике волновое уравнение, которое описывает процесс распространения волны в однородной среде со скоростью с. Таким образом, принцип стационарного действия (8) приводит к выводу о том, что удовлетворяющее ему поле удовлетворяет волновому уравнению.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (748)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |