Интегрирование рациональных дробей

Многие задачи на вычисление интегралов с помощью подходящей подстановки сводятся к интегрированию рациональных дробей.

Определение.Рациональной дробью называется выражение , где P(x) и Q(x) многочлены. Если степень многочлена Q(x) больше степени P(x), то рациональная дробь называется правильной. В противном случае – неправильной.

Приведем примеры правильных рациональных дробей:

I. , II. , III. , IV.

Здесь и .

Определение. Рациональные дроби I - IV называются простейшими.

Заметим, что любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Интеграл от многочлена сводится к первому табличному интегралу. Поэтому нужно научиться интегрировать правильные рациональные дроби. Из курса алгебры известно, что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей I – IV. Чтобы записать эту сумму, нужно пользоваться следующим правилом. Разложим знаменатель Q(x) на неприводимые многочлены и степени. Тогда каждому множителю из знаменателя вида (x – a) будет соответствовать простейшая дробь типа: .Каждому множителю вида соответствует сумма дробей и типа:

Множителю вида (где ) соответствует сумма простейших дробей и типов:

Неизвестные коэффициенты могут быть найдены из линейной системы, которая получится, если найденное нами равенство умножить на Q(x) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x .Осталось теперь заметить, что интегралы от простейших дробей и типов с помощью очевидной замены переменной сводятся к первому и второму табличным интегралам. А при интегрировании дроби третьего типа сначала в числителе выделяют производную знаменателя, умноженную на константу, так, чтобы оставшееся слагаемое не содержало x.Затем, числитель делится почленно на знаменатель, и полученные две дроби интегрируются отдельно. В той дроби, в которой числитель не зависит от x, нужно в знаменателе выделить полный квадрат и после очевидной замены получится тринадцатый табличный интеграл. Во втором интеграле нужно выделенную производную знаменателя внести под дифференциал и получить второй табличный интеграл.

Пример 1. Вычислить

Заметим, что под знаком интеграла стоит неправильная дробь. Разделим числитель почленно на знаменатель с остатком:

Отсюда следует:

Разложим знаменатель на множители:

Разложим правильную дробь на простейшие:

Умножим данное равенство на:

(1)

Независимые коэффициенты А, В, С можно найти, приравняв коэффициенты при , , в равенстве (1). А можно это сделать быстрее.

Равенство (1) справедливо при всех x.Подставим в (1) нули знаменателя подынтегральной функции: при x=0 из (1) следует -1=-A, А=1, при x=-1 из (1) следует 8=2C, С=4. Подставив в (1) x=1, получим –2=2В, В=-1. Таким образом,

=

Пример 2. Вычислить

Подынтегральная функция здесь представляет простейшую дробь третьего типа. Вычислим интеграл «по плану, предложенному выше». Выделим в числителе производную знаменателя и вычислим интеграл:

=

=