Тригонометрические подстановки
Определение. Будем обозначать R(x, y)такую функцию, которая получается их x, y и некоторых постоянных с помощью арифметических операций +, -, , : . Такая функция называется рациональной функцией от своих аргументов. Пример. В этом и следующих пунктах при вычислении интегралов будут предложены подстановки, которые приводят к интегралам от рациональных дробей. Определение.Проведение такой подстановки называется рационализацией интеграла. Рассмотрим интегралы вида (9) где R(u,v)- рациональная функция. Рационализация этого интеграла достигается с помощью подстановки: , при (10) Для проведения подстановки (10) выразим (11) (12) Из (10) – (12) и (8) следует: Так как R (u,v) - рациональная функция, то под знаком интеграла получена рациональная дробь. Определение.Подстановка (10) называется универсальной. Пример.
Замечание. Универсальная подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Если подынтегральная функция R(u,v) обладает некоторыми симметричными свойствами, то быстрее к цели приводит одна из следующих подстановок:
1. Если , то применяется подстановка: . 2. Если , то применяется подстановка: . 3. Если , то применяется подстановка: при .
Интегрирование иррациональных функций.
Рассмотрим интеграл вида , (13) где R – рациональная функция и . Интеграл (13) рационализируется подстановкой: . Выразим из этого равенства x: ; ; ; ; . Пример.
Подстановка Эйлера. Рассмотрим интеграл вида . (14) Здесь . Обозначим . Возможны следующие случаи: 1 случай.D > 0. Обозначим через x1, x2 корни уравнения . Тогда и согласно пункта 3 подстановка рационализирует интеграл (14). При этом модуль раскрывается на соответствующем промежутке. 2 случай.D < 0. Тогда a > 0. Рассмотрим подстановку . (15) Выразим отсюда x: ; ; . Следовательно, подстановка (15) рационализирует интеграл (14). Подстановка (15) называется подстановкой Эйлера. Замечание.Подстановка (15) рационализирует интеграл (14) и в случае, когда D > 0 и a > 0. 3 случай.D = 0. В этом случае под знаком корня находится полный квадрат. Поэтому подынтегральная функция преобразуется в многочлен или рациональную дробь. Замечание.При вычислении интегралов I. , II. , III. . можно применить подстановки из пунктов 3, 4. От корня в подынтегральной функции в интегралах I, II, III можно избавиться также с помощью следующих тригонометрических подстановок: I. ( ); II. ; III. . Пример.Найти интеграл
Так как то Поэтому Замечание.Интеграл (14) можно привести к виду I, II, III, если под знаком корня выделить полный квадрат и ввести новую переменную
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1025)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |