Метод наименьших квадратов

На практике часто приходится решать задачи по сглаживанию экспериментальных зависимостей

Пусть существует зависимость для 2-х переменных, выраженная с помощью таблицы, полученной экспериментально

X … …

Y … …

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными х и у, т.е. установить зависимость между х и у в виде формулы y = f(x).

Формулы, служащие для аналитических представлений экспериментальных данных, называются эмпирическими.

Задача нахождения эмпирических формул разбивается на 2 этапа.

I этап. Устанавливается вид зависимости y = f(x) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).

II этап. Определяется неизвестные параметры этой функции

Для этого применяют наиболее распространенный и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов.

Он состоит в следующем:

В качестве неизвестного параметра функции f(x) выбирают такие значения, чтобы суммы квадратов невязок ( ) была минимальной.

Невязка ( ) – это отклонение от «теоретических» значений найденных по эмпирическим формулам y = f(x) от соответствующих опытных значений .

Рассмотрим функцию (т.е. сумму квадратов всех невязок).

Пусть в качестве функций у = f(x) взята линейная функция у = ax + b. Тогда задание сводится к отыскиванию параметров a и b, при которых функция

=0

После преобразований, система принимает вид:

Первообразная и неопределённый интеграл.

Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a;b). Если функция F(x) имеет производную на интервале (a;b) и для всех x ? (a;b) выполняется равенство F’(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b).

Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале (a;b) наз. неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается

Теорема. 2 первообразные одной и той же ф-ции отличаются на постоянные слагаемые.

15. Свойства неопределённого интеграла.

Интегрирование рациональных дробей.

Рацион.ф-цией назыв. ф-ция R(x), кот. явл. отношением двух многочленов.

Теорема. Любой многочлен с действ.коэффициентами степени≥2 представим в виде произведения сомножителей линейных и квадратичных вида .

Интегрирование неправ.рац.дробей сводится к интегрированию прав.рац.дробей.

Метод сведения интеграла к интегралу от рац.дроби назыв. методом рационализации.

Интегрирование правильных рациональных дробей.

Прав.рац.дробь вида можно представить в виде суммы простейших рац.дробей.