Несобственные интегралы с бесконечными пределами

, f(x) –непрерывна [a,b]

Предполагаем:

1) f(x) –непрерывна [a,b]

2) [a,b] – конечны

Предположим нарушение 2-ого условия. f(x) –непрерывна [a,+∞]

a≤B<+∞

на любом отрезке [a,B] f(x) – непрерывна, тогда существует интеграл ∫f(x)dx

Несобственным интегралом от функции f(x) с бесконечным верхним пределом называется (1)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл (1) называется сходящимся. В противном случае – расходящимся.

(3)

Интеграл (3) называется сходящимся, если сходится 2 интеграла в формуле (3) и называются расходящимися, если расходится хотя бы один из них

_

Несобственные интегралы сот неограниченных ф-ций.

y=f(x), a≤x≤b, f(x)- непрерывна, x ? [a, +∞], x=b, f(x) терпит разрыв 2 рода.

f(b)= ∞. f(x) непрерывна на любом отрезке. f(x) –непрерывна [a,b-e]

Несобственный интеграл от f(x) неогран. на [a,b] называется пределом

Если у интеграла существует конечный предел, то он называется сходящимся. (2)

Аналогично определяем: f(x) –непрерывна [a,b], f(a)= ∞ разрыв 2 рода.

x=c(x=a, x=b) назыв. особыми точками, а несобств. интегралы от неогранич. функции называются интегралами 2-ого рода

_

Диф уравнения(ДУ). Основные понятия

Соотношения вида f(x,y,y’,…, yⁿ)=0 (1), кот. Связывает независимую переменную х, y=y(x) – независимую ф. и ее производные, наз. диф уравнением предела n.

Порядок старшей производной - порядок ДУ

Опр. Решением ДУ-1 наз ф. y=y(x), кот. при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество.

График решения ДУ наз интегральной кривой.

Одно отдельно взятое решение ДУ наз. частным решением. Частное решение в неявном виде наз частным интегралом.

Общим решением ДУ наз ф. y=y(x, с₁,с_2,…) зависящая от n независимых произвольных постоянных, кот. при соответствующем выборе значений произвольных постоянных является решением ДУ

Нахождение решений ДУ наз. его интегрированием. Проинтегрировать ДУ значит найти все его решения.

_

ДУ-1. Задача Коши.

ДУ 1ого порядка имеет вид F(x,y,y’)=0 (1)

Если можно в уравнении (1) выразить производную через независимую х и ф. у, то y’=f(x,y) (2)

y’=dy/dx, dy/dx=f(x,y), dy-f(x,y)dx=0

Вводим обозначение p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (3)–диф.форма ду-1

Теорема Коши: Если для уравнения y’=f(x,y) производная df/dy и ф. f(x,y) непрерывна в нек. открытой области D, то сущ., при том единственное решение y=y(x) этого ду, уд. условию y(x₀)=y₀ для любой (х₀ у₀) принадлежащей D

Если 2 решения у=у₁(х) и у=у₂(х) совпадают хотя бы при одном значении х=х₀, у=у₀, то у₁(х)=у₂(х) для всех допустимых значений аргумента.

Общим решением ДУ-1 наз. Ф. y=f(x,y) зависящая от одной производной и уд. 2ум условиям:

1) y=f(x,c)

2) х=х₀, у=у₀ ,(х₀ у₀) принадлежат D, существует c=c₀ , что y=f(x,c₀) является решение ду

Задача Коши:

Среди всех решений ДУ y’=f(x,y) выделить решения, удовлетворяющие условиям y(x₀)=y₀ и y=y(x)

Геометрически: среди всех интегральных кривых уравнения (2) выделить кривую, проходящую через точку (х₀,у₀)

_