Задачи для самостоятельного решения
Решите системы линейных уравнений АХ = В методом Гаусса.
Матрицы. Основные понятия В предыдущем разделе мы изучили некоторые операции с матрицами, рассматривая только квадратную матрицу третьего порядка и матрицу-столбец. В общем случае матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:
А(m´n) = .
Числа называются элементами матрицы, первый индекс – номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент . Пример 1.5 ; ; А(1´4) = (–1 2 5 7).
Во втором разделе была рассмотрена матрица-столбец. Матрица называется матрицей-строкой. Если m = n, то матрица A(n´n) = называется квадратной матрицей n–ого порядка. – квадратная матрица второго порядка, – квадратная матрица третьего порядка. В квадратной матрице диагональ, образованная элементами a11, a22, a33, …., an n , называется главной диагональю матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:
. Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей:
Большой буквой в дальнейшем будем обозначать единичную матрицу. Линейные операции над матрицами Матрицы можно складывать между собой и умножать на числа. Такие действия называются линейными операциями над матрицами. 1. Суммой двух матриц и одинаковой размерности m´n называется матрица такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и В. Из этого определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов. Пример 1.6 1) А+В = ;
2) матрицы
А = и В = сложить нельзя, так как они имеют разное количество столбцов.
2. Произведением матрицы на число l называется матрица lА, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число l. Пример 1.7
3. Две матрицы A и одинаковой размерности m´n считаются равными, если равны их соответствующие элементы aik = bik .
Умножение матриц В третьем разделе было изучено правило (1.6) умножения квадратной матрицы третьего порядка на столбец. Рассмотрим теперь умножение матрицы на матрицу . Подчеркнем, что число столбцовматрицы А, равно числу строкматрицы В. Отличие произведения А(3´3) × В(3´2) от формулы (1.6), рассмотренной в третьем разделе, заключается только в том, что матрица В имеет теперь два столбца, поэтому матрица D = А(3´3)× В(3´2) тоже имеет два столбца, т.е. столько же столбцов, сколько их в матрице В. При этом первый столбец матрицы D равен произведению матрицы А на первый столбец матрицы В, а второй столбец матрицы D – это произведение матрицы А на второй столбец матрицы В:
А(3´3)× В(3´2) = =
Посмотрим, как изменится формула умножения матриц (1.9), если в матрице А добавить еще одну строку:
А(4´3)× В(3´2)= =
Как видим, добавление строки в матрицу А приводит к добавлению строки в матрицу D = A×B, т.е. можно записать
Если в матрице прибавить один столбец, то произведение такой матрицы A(3´4) на матрицу B(3´2) по рассмотренным выше правилам найти невозможно. В этом случае говорят, что произведение матриц не существует. Матрицу A(3´4), имеющую четыре столбца, можно умножить только на матрицу, имеющую четыре строки, например на матрицу B(4´2):
= .
Таким образом, .
Из примера можно сделать следующие основные выводы об умножении матриц:
1) произведением некоторой матрицы А(m ´ k) на матрицу В(k ´ n) является матрица D(m ´ n)= А(m ´ k) × В(k ´ n) . Число строк матрицы D равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы D равно числу столбцов матрицы В; 2) если число столбцов матрицы А (первого сомножителя в произведении) не равно числу строк матрицы В (второго сомножителя), то произведение таких матриц не существует; 3) каждый столбец матрицы D(m ´ n)= А(m ´ k) × В(k ´ n) строится как произведение матрицы А на соответствующий столбец матрицы В. Из сказанного следует, что операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности (перестановочности), т.е. в общем случае АВ¹ВА. Более того, при существовании произведения АВ произведение ВА может и не существовать. Приведем еще несколько примеров умножения матриц. Пример 1.8 Легко показать, что АЕ = ЕА = А, где А – квадратная матрица произвольного порядка, Е – единичная матрица того же порядка (см. определение и формулу (1.8)), что и матрица А. Действительно, пусть А – квадратная матрица третьего порядка, тогда АЕ = = = = = = А.
Равенство ЕА = А доказывается аналогично. Пример 1.9 . Пример 1.10 . В этом случае произведение не существует, так как число столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3). Пример 1.11 А= , В = . Найти АВ и ВА. Решение АВ = × = = = ; ВА = × =
= = . Как видим, в этом случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой. Пример 1.12
× = = = .
Пример 1.13
× = = = = .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (679)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |