Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Задачи для самостоятельного решения



2015-12-07 679 Обсуждений (0)
Задачи для самостоятельного решения 0.00 из 5.00 0 оценок




Решите системы линейных уравнений АХ = В методом Гаусса.

А В Х (ответы)
1. , , .
2. , , .
3. , , .
4. , , .
5. , , .
6. , , .

 

Матрицы. Основные понятия

В предыдущем разделе мы изучили некоторые операции с матрицами, рассматривая только квадратную матрицу третьего порядка и матрицу-столбец. В общем случае матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

 

А(m´n) = .

 

Числа называются элементами матрицы, первый индекс – номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент .

Пример 1.5

;

;

А(1´4) = (–1 2 5 7).

 

Во втором разделе была рассмотрена матрица-столбец. Матрица называется матрицей-строкой.

Если m = n, то матрица

A(n´n) =

называется квадратной матрицей n–ого порядка.

– квадратная матрица второго порядка,

– квадратная матрица третьего порядка.

В квадратной матрице диагональ, образованная элементами a11, a22, a33, …., an n , называется главной диагональю матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:

 

.

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей:

E = . (1.8)

Большой буквой в дальнейшем будем обозначать единичную матрицу.

Линейные операции над матрицами

Матрицы можно складывать между собой и умножать на числа. Такие действия называются линейными операциями над матрицами.

1. Суммой двух матриц и одинаковой размерности m´n называется матрица такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и В. Из этого определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.

Пример 1.6

1) А+В = ;

 

2) матрицы

 

А = и В =

сложить нельзя, так как они имеют разное количество столбцов.

 

2. Произведением матрицы на число l называется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число l.

Пример 1.7

= (1.8)

 

3. Две матрицы A и одинаковой размерности m´n считаются равными, если равны их соответствующие элементы aik = bik .

 

Умножение матриц

В третьем разделе было изучено правило (1.6) умножения квадратной матрицы третьего порядка на столбец. Рассмотрим теперь умножение матрицы на матрицу . Подчеркнем, что число столбцовматрицы А, равно числу строкматрицы В. Отличие произведения А(3´3) × В(3´2) от формулы (1.6), рассмотренной в третьем разделе, заключается только в том, что матрица В имеет теперь два столбца, поэтому матрица D = А(3´3)× В(3´2) тоже имеет два столбца, т.е. столько же столбцов, сколько их в матрице В. При этом первый столбец матрицы D равен произведению матрицы А на первый столбец матрицы В, а второй столбец матрицы D – это произведение матрицы А на второй столбец матрицы В:

 

А(3´3)× В(3´2) = =

= . (1.9)

Посмотрим, как изменится формула умножения матриц (1.9), если в матрице А добавить еще одну строку:

 

А(4´3)× В(3´2)= =

 

 

= .     (1.10)

Как видим, добавление строки в матрицу А приводит к добавлению строки в матрицу D = A×B, т.е. можно записать

 

. (1.11)

 

Если в матрице прибавить один столбец, то произведение такой матрицы A(3´4) на матрицу B(3´2) по рассмотренным выше правилам найти невозможно. В этом случае говорят, что произведение матриц не существует. Матрицу A(3´4), имеющую четыре столбца, можно умножить только на матрицу, имеющую четыре строки, например на матрицу B(4´2):

 

 

 

= .

 

Таким образом, .

 

Из примера можно сделать следующие основные выводы об умножении матриц:

 

1) произведением некоторой матрицы А(m ´ k) на матрицу В(k ´ n) является матрица D(m ´ n)= А(m ´ k) × В(k ´ n) . Число строк матрицы D равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы D равно числу столбцов матрицы В;

2) если число столбцов матрицы А (первого сомножителя в произведении) не равно числу строк матрицы В (второго сомножителя), то произведение таких матриц не существует;

3) каждый столбец матрицы D(m ´ n)= А(m ´ k) × В(k ´ n) строится как произведение матрицы А на соответствующий столбец матрицы В.

Из сказанного следует, что операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности (перестановочности), т.е. в общем случае АВ¹ВА. Более того, при существовании произведения АВ произведение ВА может и не существовать.

Приведем еще несколько примеров умножения матриц.

Пример 1.8

Легко показать, что АЕ = ЕА = А, где А – квадратная матрица произвольного порядка, Е – единичная матрица того же порядка (см. определение и формулу (1.8)), что и матрица А. Действительно, пусть А – квадратная матрица третьего порядка, тогда

АЕ = =

= =

= = А.

 

Равенство ЕА = А доказывается аналогично.

Пример 1.9

.

Пример 1.10

.

В этом случае произведение не существует, так как число столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3).

Пример 1.11

А= , В = .

Найти АВ и ВА.

Решение

АВ = × =

= = ;

ВА = × =

 

= = .

Как видим, в этом случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой.

Пример 1.12

 

× =

= = .

 

Пример 1.13

 

× =

= =

= .



2015-12-07 679 Обсуждений (0)
Задачи для самостоятельного решения 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Задачи для самостоятельного решения

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (679)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.01 сек.)