Задачи для самостоятельного решения. Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера. № Система

Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера.

№	Система уравнений	Ответы

 

Обратная матрица и ее нахождение

Квадратная матрица А, определитель которой равен нулю (detA=0) называется вырожденной. Если же detA ¹ 0, тогда матрица А называется невырожденной.

Матрица А^–1 называется обратной к матрице А, если выполняется соотношение

 

,

(1.18)

 

Таким образом, произведение матрицы А на обратную к ней матрицу А^–1 равно единичной матрице Е (А^–1 – это обозначение матрицы, обратной к матрице А). Отметим, что умножение матрицы А на обратную обладает свойством коммутативности

 

,

(1.19)

 

Можно доказать, что для любой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица, которая находится по формуле

А–1 = .

(1.20)

В формуле (1.20) D = det(А) ¹0, элементы А₁₁ , А₁₂ , …– алгебраические дополнения к соответствующим элементам а₁₁ , а₁₂ , …матрицы А.

Пример 1.20

Найти матрицу , обратную к матрице А= .

Решение

Для нахождения обратной матрицы А^–1 вычислим определитель

D= = 2+1=3

и алгебраические дополнения

А₁₁ = 1 , А₂₁ = 1,

А₁₂ = –1 , А₂₂ = 2.

После этого найдем

А^–1 = = .

 

Покажем, что для найденной матрицы выполняется условие

:

.

 

Пример 1.21

Рассмотрим еще один пример нахождения обратной матрицы для матрицы третьего порядка:

А = .

Решение

Вычислим определитель:

D= =1×(–1)×0+1×(–6)×3+2×(–2)×1 – 1×(–1)×3–1×2×0–

– (–6)×(–2)×1= –18 – 4 + 3 –12 = –31.

Вычислим алгебраические дополнения соответствующих элементов:

А11 = = –12;	А21 = – = –2;	А31 = = –5;
А12 = – = –18;	А22 = = –3;	А32 = – = 8;
А13 = = –1;	А23 = – = 5;	А33 = = –3.

Составим обратную матрицу:

А^–1 = = .

 

Покажем, что .

 

× =

 

= =

 

= = = Е.

Решение систем с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными (1.15):

 

или в матричной записи

 

.

(1.21)

 

Если А – невырожденная матрица (det A¹0), то система (1.15) совместна и имеет единственное решение. Умножая обе части равенства (1.21) слева на матрицу А^–1, обратную к матрице А, получаем

 

Х = А–1 B.

(1.22)

Пример 1.22

 

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

 

Решение

А = .

Обратная матрица найдена в примере 1.21 и имеет вид

А^–1 = .

По формуле (1.22) получаем

Х = × = =

= = .

Таким образом, решение системы: (2; –1; 1).

 

Покажем, что если D= detA¹0, то формулы Крамера (1.16) могут быть получены из формулы (1.21). Действительно, из выражений (1.22) и (1.20) и (1.14) последовательно получаем

 

.

 

 

 

;

 

 

;

 

 

 

.

Задачи для самостоятельного решения

Решите системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

 

№	А	В	Х (ответы)
1)
2)
3)
4)
5)
6)

 

.

 

 

.