Моменты случайных величин

Наряду с рассмотренными числовыми характеристиками случайных величин используются и другие, более общие характеристики- начальные и центральные моменты, через которые, в частности, выражаются математическое ожидание и дисперсия.

Начальным моментом k-го порядка, или моментом k-го порядка, случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой величины, т.е. vk=M( )

Если дискретная случайная величина X принимает значения х1,х2,..., хn,... с вероятностями р1,р2,..., рn,... то в соответствии с определением при условии, что этот ряд сходится абсолютно.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой величины от ее математического ожидания. Обозначив центральный момент k-го порядка через и положив М(Х)=a, по определению получим

Если дискретная случайная величина принимает значение х1,х2,…,хn соответственно с вероятностями р1,р2,…рn…, то при условии, что ряд сходится абсолютно.

Эксцессом случайной величины Х называется число, определяется формулой , где центральный момент четвертого порядка; - среднее квадратическое отклонение.

Закон Пуассона.

Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые значения k = 0, 1, 2, ... с вероятностями где > 0 – параметр распределения. При этом

Значения вероятностей приводятся в таблицах распределения Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины равны параметру распределения:

Распределение Пуассона используется для приближенных вычислений.

Геометрическое и гипергеометрическое распределения.

Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если она принимает значения k=1, 2, 3, … с вероятностями

Определение является корректным, т.к. сумма вероятностей

Случайная величина Х, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний Бернулли до первого успеха.

Математическое ожидание и дисперсия Х:

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения m с вероятностями где m=0,1,…,k; k = min(n, M); M N; n N.

Вероятность является вероятностью выбора m объектов обладающих заданным свойством, из множества n объектов, случайно извлечённых (без возврата) из совокупности N объектов, среди кот. Mобъектов обладают заданным свойством.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрамиn, M, N: