Теоремы сложения и умножения вероятностей
Классическое определение вероятности. Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначим через Р(А), тогда по определению Р(А) = m/n , где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться событие А. Это определение вероятности называется классическим. Оно появилось на начальном этапе развития теории вероятности. Из определения вероятности события следуют ее простейшие свойства: 1, Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, для достоверного события все элементарные исходы являются благоприятствующими этому событию, т.е. m = n. обозначим достоверное событие буквой Е, тогда Р(Е) = n/n= 1. 2, Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, для невозможного события нет ни одного элементарного исхода, благоприятствующего этому событию, т.е. m = 0. Обозначим невозможное событие буквой О, тогда Р(О) = 0/n = 0. 3, Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы.Так для случайного события 0<m<n, то 0 <m/n< 1, 0<P(A) <1. С л е д с т в и е. вероятность любого события удовлетворяет неравенства 0<=P (A) <= 1. Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных исходов конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.
Геометрические вероятности и статистическая вероятность. Понятие геометрической вероятности необходимо, например, при определении вероятности попадания в областьg точки, брошенной в область G, которая содержитg. Когда говорят « в некоторой области брошена точка», имеют в виду, что брошено тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами данных областей (например, поперечным сечением пули по сравнению с площадью мишени, поперечным сечением по сравнению с площадью участка, на котором находятся поражаемые цели). Общая задача, приведшая к необходимости расширения понятия вероятности, в плоском случае получают следующую формулировку. На плоскости задана квадрируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой G, а ее площадьSG. В области G содержится областьg площадиSg. В области G наудачу бросается точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть областиG с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Требуется определить вероятность попадания данной точки в областьg. Пусть А – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой P(A) = Sg/SG. Также существует понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную областьG, содержащую областьg. Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mesg, а меру областиG- через mesG, тогда вероятность попадания в областьg точки, брошенной в областьG, по определению выражается формулой:P(A) = mesg/mesG, где А (рассматриваемое событие) – попадание точки в областьg, которая содержится в областиG. Это определение вероятности называется геометрическим. Статистическая вероятность – пусть при проведении nиспытаний некоторое событие А появилось mраз. Многочисленные эксперименты такого рода показывают, что при больших nотношение m/n, называемое частью события А, остается примерно постоянным. Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частостей при неограниченном возрастании числа n. В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей.. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В). Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий Р(А1 + А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … Р(Аn). Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Р(А) + Р(А)= 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий Р(А1 + А2 + А3 +…+ Аn ) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) +…+ Р(Аn) – Р(A1A2) -Р(А1А3) - …-P(An-1An) + (А1А2А3) +…+ Р(Аn-2Аn-1Аn) - …+ (-1)n-1Р (А1А2…Аn). Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило Р(АВ)=Р(А)РА(В). В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)Р(В), т.е. вероятность наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленную в предположении, что все предыдущие события уже наступили Р(А1А2А3…Аn)=P(A1)PA1(A2)PA1*A2(A3)…PA1A2…An-1(An). В частности, вероятность совместного наступления нескольких событий независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий P(A1A2A3…An)= P(A1)P(A2)…P(An).
Основные понятия дисперсионного анализа. В процессе наблюдения за исследуемым объектом качественные факторы произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора называется уровнем фактораили способом обработки. Модель дисперсионного анализа с фиксированными уровнями факторов называется моделью I, модель со случайными факторами – моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика. В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного признака, дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный. Основными схемами организации исходных данных с двумя и более факторами являются: --перекрёстная классификация, характерная для моделей I, в которых каждый уровень фактора сочетается при планировании эксперимента с каждой градацией другого фактора; --иерархическая классификация, характерна для модели II, в которой каждому случайному, наудачу выбранному значению одного фактора соответствует свое подмножество значений второго фактора; **Модель дисперсионного анализа с фиксированными эффектами – устанавливает строго определённые уровни изучаемого фактора. **Модель со случайными эффектами – уровни значения фактора выбираются исследователями случайно из широкого значения диапазона фактора. Для дисперсионного анализа однофакторных экспериментов различие этих двух моделей не столь существенно, однако в многофакторном дисперсионном анализе оно может оказаться весьма важным. При выполнении дисперсионного анализа должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный закон распределения и одинаковую дисперсию. В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ2. Она является мерой вариации частных средних по группам χјсред.вокруг общей средней и определяется по формуле: 2= , где-k.число-групп; nj-число единиц в j-ой группе; хj сред.- частная средняя по j-ой группе; х сред. – общая средняя по совокупности единиц. Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ2j. σ2j = Между общей дисперсией σ20, внутригрупповой дисперсией σ2 и межгрупповой дисперсией σ2 сред.существует соотношение: σ20 = 2 + σ2. Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтённых при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе.
Условная вероятность. В ряде случаев приходится рассматривать вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие, имеющее вероятность, отличную от нуля. Такие вероятности называются условными вероятностями. Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается так: Р (В/А), или РА(В). Например, пусть А – событие, состоящее в извлечении белого шара из урны, содержащей n шаров, в том числе mбелых, n – mчерных; В – событие, состоящее в извлечении белого шара из той же урны после того, как из нее уже извлечен один шар. Очевидно, если первый извлечённый шар был белым, т.е. если произошло событие А, то в урне после первого извлечения останется m – 1 белых иn-mчерных шаров, поэтому вероятность события В будет равнаm-1/n-1. Если же первый извлеченный шар был черным (произошло событие А), то в урне останется mбелых и n-m-1 черных шаров; искомая вероятность окажется равной m/n-1. Следовательно, вероятность события В меняется в зависимости от того, происходит или не происходит событие А, т.е. вероятность события В может принимать два различных значения m-1/n-1, m/n-1. Таким образом, Р(В/А)=m-1 /n-1, P(B/A)= m/n-1. В случае классического определения условные вероятности вычисляются аналогично тому, как вычисляются безусловные вероятности. Пусть среди полной группы элементарных исходов А1, А2, …, Аn событию А благоприятствуют m исходов, событию В – kисходов, событию АВ –lисходов (l<=m, l<=k). если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий Ai, благоприятствующих В, при этомl и только l событийAi, благоприятствующих АВ, поэтому Р(А/В) = l/k = l/n / k/n = P(AB)/P(B), P(B/A) = l/m = l/n / m/n = P(AB) / P(A). Итак, получены следующие формулы: Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В), Р(В/А)= Р(АВ)/Р(А). При аксиоматическом введении понятия вероятности условные вероятности определяются соответственно формулами:Р(В/А)=Р(АВ)/Р(А), Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В).
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (542)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |